حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\ln^{2} (x)}{x^{3}} d x$

خطوة 1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int \ln^{2} (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln^{2} (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 1.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int \ln^{2} (x) x^{- 3} d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln^{2} (x)$ و $d v = x^{- 3}$ .

$\ln^{2} (x) (- \frac{1}{2 x^{2}}) - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\ln^{2} (x)$ و $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ في $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{\ln (x^{2})}{x (2 x^{2})} d x$

خطوة 3.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{\ln (x^{2})}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

خطوة 3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{\ln (x^{2})}{2 x^{1 + 2}} d x$

خطوة 3.5

أضف $1$ و $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{\ln (x^{2})}{2 x^{3}} d x$

خطوة 4

أعِد كتابة $- \frac{\ln (x^{2})}{2 x^{3}}$ بالصيغة $- \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}} d x$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}} d x$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}} d x$

خطوة 6.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

خطوة 6.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + 1 \int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

خطوة 6.1.3

اضرب $\int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$ في $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

خطوة 6.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \int \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 6.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \int \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \int \ln (x) x^{- 3} d x$

خطوة 7

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = x^{- 3}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}}) - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

خطوة 8.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x$

خطوة 8.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

خطوة 8.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x$

خطوة 8.5

أضف $1$ و $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{3}} d x$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + 1 \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

خطوة 10.2

اضرب $\int \frac{1}{2 x^{3}} d x$ في $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 12

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 12.2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 12.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int x^{- 3} d x$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

خطوة 14

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أعِد كتابة $- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$ بالصيغة $- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$

خطوة 14.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

اضرب $\frac{1}{x^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{x^{2} \cdot 2}) + C$

خطوة 14.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot x^{2}}) + C$

خطوة 14.2.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 (2 x^{2})} + C$

خطوة 14.2.4

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \frac{1}{4 x^{2}} + C$