حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} d x$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 9} d x$

خطوة 2

اقسِم $x^{2}$ على $x^{2} + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

خطوة 2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$9$

خطوة 2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + 0 + 9$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$9$

خطوة 2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$9$
									-	$9$

خطوة 2.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$4 \int 1 - \frac{9}{x^{2} + 9} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$4 (\int d x + \int - \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$4 (x + C + \int - \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 (x + C - \int \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

خطوة 6

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$4 (x + C - (9 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x))$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $9$ في $- 1$ .

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

خطوة 7.2

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $9$ .

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x)$

خطوة 7.3

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x)$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$4 (x + C - 9 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C))$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$4 (x + C - 9 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C))$

خطوة 9.2

بسّط.

$4 (x - 3 \arctan (\frac{x}{3})) + C$

خطوة 9.3

أعِد ترتيب الحدود.

$4 (x - 3 \arctan (\frac{1}{3} x)) + C$