حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\cos (2 x)}{1 + \sin (2 x)} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = 1 + \sin (2 x)$ . إذن $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = 1 + \sin (2 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + \sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (2 x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3.1.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$0 + \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$0 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$0 + \cos (2 x) \cdot 2$

خطوة 1.1.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$0 + 2 \cos (2 x)$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

خطوة 5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + \sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + \sin (2 x) |) + C$