حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 12}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 12}$ في صورة ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 12$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 12$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.7.3

انقُل ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))$

خطوة 1.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (12))$

خطوة 1.10

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

خطوة 1.11

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

خطوة 1.11.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

خطوة 1.11.3

اجمع $\frac{2}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.4

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.11.5

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.2

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.3

بسّط.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.4.2

اضرب ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.5

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 12$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 12$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.10.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.10.3

انقُل ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.10.4

اجمع $\frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.11

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (12))}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.13

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.14

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.14.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.14.3

اجمع $- 2$ و $\frac{x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.14.4

اجمع $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.15

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.16

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.18

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.19

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.20

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.20.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.20.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.20.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.21

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.22

لكتابة ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.23

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.24

اضرب ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.24.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.24.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.24.3

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.24.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 12) - x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.25

بسّط ${(x^{2} + 12)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 12 - x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.26

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.27

أضف $0$ و $12$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.28

أعِد كتابة $\frac{\frac{12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$ في صورة حاصل ضرب.

$f'' (x) = \frac{12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 12}$

خطوة 2.29

اضرب $\frac{12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{x^{2} + 12}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 12)}$

خطوة 2.30

اضرب ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ في $x^{2} + 12$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.30.1

اضرب ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ في $x^{2} + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.30.1.1

ارفع $x^{2} + 12$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 12)}$

خطوة 2.30.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

خطوة 2.30.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f'' (x) = \frac{12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

خطوة 2.30.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

خطوة 2.30.4

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = 12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}})$

خطوة 3.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$ بالصيغة ${({(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = 12 \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

خطوة 3.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = 12 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1})$

خطوة 3.1.2.2.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$f''' (x) = 12 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 12)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}})$

خطوة 3.1.2.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f''' (x) = 12 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 12)}^{\frac{- 3}{2}})$

خطوة 3.1.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (x) = 12 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 12)}^{- \frac{3}{2}})$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 12$ .

$f''' (x) = 12 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = 12 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 12$ .

$f''' (x) = 12 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

خطوة 3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 12 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

خطوة 3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 12 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

خطوة 3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f''' (x) = 12 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

خطوة 3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f''' (x) = 12 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

خطوة 3.6.2

اطرح $2$ من $- 3$ .

$f''' (x) = 12 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

خطوة 3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (x) = 12 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

خطوة 3.8

اجمع ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{5}{2}}$ و $\frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = 12 (- \frac{{(x^{2} + 12)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

خطوة 3.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

انقُل $3$ إلى يسار ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = 12 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 12)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

خطوة 3.9.2

انقُل ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{5}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 12 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

خطوة 3.9.3

اضرب $- 1$ في $12$ .

$f''' (x) = - 12 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

خطوة 3.10

اجمع $\frac{3}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}}$ و $- 12$ .

$f''' (x) = \frac{3 \cdot - 12}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 3.11

اضرب $3$ في $- 12$ .

$f''' (x) = \frac{- 36}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 3.12

أخرِج العامل $2$ من $- 36$ .

$f''' (x) = \frac{2 \cdot - 18}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 3.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{2 \cdot - 18}{2 ({(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 3.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$f''' (x) = \frac{2 \cdot - 18}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 3.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$f''' (x) = \frac{- 18}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 3.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (x) = - \frac{18}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 3.15

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f''' (x) = - \frac{18}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))$

خطوة 3.16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f''' (x) = - \frac{18}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (12))$

خطوة 3.17

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f''' (x) = - \frac{18}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

خطوة 3.18

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.18.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f''' (x) = - \frac{18}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x)$

خطوة 3.18.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{18}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

خطوة 3.18.3

اجمع $- 2$ و $\frac{18}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 2 \cdot 18}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

خطوة 3.18.4

اضرب $- 2$ في $18$ .

$f''' (x) = \frac{- 36}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

خطوة 3.18.5

اجمع $\frac{- 36}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}}$ و $x$ .

$f''' (x) = \frac{- 36 x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 3.18.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (x) = - \frac{36 x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{36 x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 36 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 4.2

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}}{{({(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.3.3

اضرب ${(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}$ في $1$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 12$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 12$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.8.2

اطرح $2$ من $5$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

اجمع $\frac{5}{2}$ و ${(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.9.2

اجمع $\frac{5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ و $x$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.12

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.13

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.13.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - 2 \frac{5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.13.3

اجمع $- 2$ و $\frac{5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2 (5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.13.4

اضرب $5$ في $- 2$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.13.5

اجمع $\frac{- 10 ({(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x)}{2}$ و $x$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x) x}{2}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.14

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.15

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.16

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x^{1 + 1})}{2}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.17

أضف $1$ و $1$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.18

أخرِج العامل $2$ من $- 10 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.19

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 (1)}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.19.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.19.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{1}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.19.4

اقسِم $- 5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ على $1$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.20

أخرِج العامل ${(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}$ من ${(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.20.1

انقُل ${(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.20.2

أخرِج العامل ${(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}$ من ${(x^{2} + 12)}^{\frac{5}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.20.3

أخرِج العامل ${(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}$ من $- 5 x^{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.20.4

أخرِج العامل ${(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}$ من ${(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 12)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.21

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.21.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 12)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.21.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} ((x^{2} + 12) - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.22

بسّط.

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} + 12 - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.23

اطرح $5 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}} (- 4 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

خطوة 4.24

انقُل ${(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{- 4 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{5} {(x^{2} + 12)}^{- \frac{3}{2}}}$

خطوة 4.25

اضرب ${(x^{2} + 12)}^{5}$ في ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{3}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.25.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{4} (x) = - 36 \frac{- 4 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{5 - \frac{3}{2}}}$

خطوة 4.25.2

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{- 4 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

خطوة 4.25.3

اجمع $5$ و $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{- 4 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

خطوة 4.25.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{4} (x) = - 36 \frac{- 4 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{5 \cdot 2 - 3}{2}}}$

خطوة 4.25.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.25.5.1

اضرب $5$ في $2$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{- 4 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{10 - 3}{2}}}$

خطوة 4.25.5.2

اطرح $3$ من $10$ .

$f^{4} (x) = - 36 \frac{- 4 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.26

اجمع $- 36$ و $\frac{- 4 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 36 (- 4 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.27

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{4} (x) = - \frac{(36) (- 4 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.28

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.28.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{4} (x) = - \frac{36 (- 4 x^{2}) + 36 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.28.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.28.2.1

اضرب $- 4$ في $36$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 144 x^{2} + 36 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.28.2.2

اضرب $36$ في $12$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 144 x^{2} + 432}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.28.3

أخرِج العامل $144$ من $- 144 x^{2} + 432$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.28.3.1

أخرِج العامل $144$ من $- 144 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{144 (- x^{2}) + 432}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.28.3.2

أخرِج العامل $144$ من $432$ .

$f^{4} (x) = - \frac{144 (- x^{2}) + 144 (3)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.28.3.3

أخرِج العامل $144$ من $144 (- x^{2}) + 144 (3)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{144 (- x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.28.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{144 (- (x^{2}) + 3)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.28.5

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{144 (- (x^{2}) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.28.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{144 (- (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.28.7

أعِد كتابة $- (x^{2} - 3)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{144 (- 1 (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.28.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{4} (x) = \frac{144 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.28.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{144 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}})$

خطوة 4.28.10

اضرب $\frac{144 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$ في $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{144 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{144 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{144 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{7}{2}}}$