حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

خطوة 1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

خطوة 1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

خطوة 1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 2.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

خطوة 2.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

خطوة 2.2.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 2.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

خطوة 2.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 2.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

خطوة 2.7.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

خطوة 2.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

خطوة 2.9

اجمع $x^{- \frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

خطوة 2.10

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

خطوة 2.11.2

انقُل $x^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

خطوة 3.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

خطوة 3.2.2.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

خطوة 3.2.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

خطوة 3.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

خطوة 3.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 3.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

خطوة 3.7.2

اطرح $2$ من $- 3$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

خطوة 3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

خطوة 3.9

اجمع $x^{- \frac{5}{2}}$ و $\frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

خطوة 3.10

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

خطوة 3.10.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

خطوة 3.11

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{4 \cdot 2}$

خطوة 3.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

اضرب $4$ في $2$ .

$f''' (x) = \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{8}$

خطوة 3.12.2

انقُل $3$ إلى يسار $x^{- \frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{3 \cdot x^{- \frac{5}{2}}}{8}$

خطوة 3.12.3

انقُل $x^{- \frac{5}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 x^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $\frac{3}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3}{8 x^{\frac{5}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}})$

خطوة 4.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1})$

خطوة 4.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{2} \cdot - 1})$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

اجمع $\frac{5}{2}$ و $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}})$

خطوة 4.2.2.2.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 5}{2}})$

خطوة 4.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{5}{2}})$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1})$

خطوة 4.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 4.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}})$

خطوة 4.7.2

اطرح $2$ من $- 5$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}})$

خطوة 4.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}})$

خطوة 4.9

اجمع $x^{- \frac{7}{2}}$ و $\frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

خطوة 4.10

اضرب $\frac{3}{8}$ في $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{8 \cdot 2}$

خطوة 4.11

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

اضرب $5$ في $3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15 x^{- \frac{7}{2}}}{8 \cdot 2}$

خطوة 4.11.2

اضرب $8$ في $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15 x^{- \frac{7}{2}}}{16}$

خطوة 4.11.3

انقُل $x^{- \frac{7}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 x^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{15}{16 x^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{15}{16 x^{\frac{7}{2}}}$