حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{64}^{8} 1 \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 1

اضرب $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ في $1$ .

$\int_{64}^{8} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 2

أعِد كتابة $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ في صورة حاصل ضرب.

$\int_{64}^{8} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 3

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (y)$ و $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y$

خطوة 4.2

اجمع $y^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y$

خطوة 4.3

انقُل $2$ إلى يسار $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y$

خطوة 4.4

انقُل $y^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y$

خطوة 4.5

اضرب $y$ في $y^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $y$ في $y^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

خطوة 4.5.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y$

خطوة 4.5.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

خطوة 4.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y$

خطوة 4.5.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

خطوة 5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - (2 \int_{64}^{8} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

خطوة 6.2

انقُل $y^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

خطوة 6.3

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

خطوة 6.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

خطوة 6.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} y^{- \frac{1}{2}} d y$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{64}^{8})$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ في $8$ وفي $64$ .

$(\ln (8) (2 \cdot 8^{\frac{1}{2}})) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{64}^{8})$

خطوة 8.2

احسِب قيمة $2 y^{\frac{1}{2}}$ في $8$ وفي $64$ .

$(\ln (8) (2 \cdot 8^{\frac{1}{2}})) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$\ln (8) (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.2

اضرب الأُسس في ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (8) (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})}) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.2.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (8) (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (8) \cdot 2^{1 + \frac{3}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{2 + 3}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.6

أضف $2$ و $3$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.7

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.8

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8^{1}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.10

احسِب قيمة الأُس.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.11

اضرب $2$ في $8$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) \cdot 16 - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.12

اضرب $16$ في $- 1$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.13

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.14

اضرب الأُسس في ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.14.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.14.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.15

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{1 + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.16

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{2 + 3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.18

أضف $2$ و $3$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.19

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 8.3.20

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})})$

خطوة 8.3.21

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.21.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})})$

خطوة 8.3.21.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8^{1})$

خطوة 8.3.22

احسِب قيمة الأُس.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8)$

خطوة 8.3.23

اضرب $- 2$ في $8$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

خطوة 9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $\ln (64)$ بالصيغة $\ln (2^{6})$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (2^{6}) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

خطوة 9.2

وسّع $\ln (2^{6})$ بنقل $6$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 (6 \ln (2)) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

خطوة 9.3

اضرب $6$ في $- 16$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

خطوة 9.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot - 16$

خطوة 9.5

اضرب $- 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

أخرِج السالب.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - (2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 16$

خطوة 9.5.2

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - (2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 16$

خطوة 9.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{1 + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 16$

خطوة 9.5.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 16$

خطوة 9.5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{2 + 5}{2}} - 2 \cdot - 16$

خطوة 9.5.6

أضف $2$ و $5$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot - 16$

خطوة 9.6

اضرب $- 2$ في $- 16$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{7}{2}} + 32$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{7}{2}} + 32$

الصيغة العشرية:

$- 34.09274011 \dots$