حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (x + 1) e^{4 x^{2} + 8 x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 4 x^{2} + 8 x$ . إذن $d u = (8 x + 8) d x$ ، لذا $\frac{1}{8} d u = (x + 1) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 4 x^{2} + 8 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 x^{2} + 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 8 x]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} + 8 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 8 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 x + 8 \cdot 1$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $8$ في $1$ .

$8 x + 8$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{8} d u$

خطوة 2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{e^{u}}{8} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} \int e^{u} d u$

خطوة 4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u} + C)$

خطوة 5

بسّط.

$\frac{1}{8} e^{u} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x^{2} + 8 x$ .

$\frac{1}{8} e^{4 x^{2} + 8 x} + C$