حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{4 + r^{2}}} d r$

خطوة 1

لنفترض أن $r = 2 \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d r = 2 \sec^{2} (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $2 \sec^{2} (t)$ موجبة.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $4$ من $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.6

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.7

أعِد كتابة $4 \sec^{2} (t)$ بالصيغة ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 \sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $2 \sec (t)$ من $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

خطوة 2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 2.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{0.4636476} {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.4636476} {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

خطوة 2.2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 (\tan (t))$ .

$\int_{0}^{0.4636476} 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

خطوة 2.2.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\int_{0}^{0.4636476} 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

خطوة 3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

خطوة 4

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 5

أخرِج عامل $\tan^{2} (t)$ .

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 6

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$8 \int_{0}^{0.4636476} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 7

بسّط.

$8 \int_{0}^{0.4636476} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

خطوة 8

لنفترض أن $u = \sec (t)$ . إذن $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ ، لذا $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = \sec (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

خطوة 8.1.2

مشتق $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

خطوة 8.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

خطوة 8.3

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 8.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (0.4636476)$

خطوة 8.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sec (0.4636476)$

خطوة 8.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$8 \int_{1}^{\sec (0.4636476)} - 1 + u^{2} d u$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$8 (\int_{1}^{\sec (0.4636476)} - 1 d u + \int_{1}^{\sec (0.4636476)} u^{2} d u)$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$8 (- u]_{1}^{\sec (0.4636476)} + \int_{1}^{\sec (0.4636476)} u^{2} d u)$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (- u]_{1}^{\sec (0.4636476)} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $- u]_{1}^{\sec (0.4636476)}$ و $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)}$ .

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

خطوة 12.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$8 (- u + \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

خطوة 13

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة $- u + \frac{u^{3}}{3}$ في $\sec (0.4636476)$ وفي $1$ .

$8 ((- \sec (0.4636476) + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 13.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

لكتابة $- \sec (0.4636476)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$8 (- \sec (0.4636476) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 13.2.2

اجمع $- \sec (0.4636476)$ و $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{- \sec (0.4636476) \cdot 3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 13.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$8 (\frac{- \sec (0.4636476) \cdot 3 + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 13.2.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 13.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

خطوة 13.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

خطوة 13.2.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

خطوة 13.2.8

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

خطوة 13.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

خطوة 13.2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.10.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

خطوة 13.2.10.2

أضف $- 3$ و $1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 2}{3})$

خطوة 13.2.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - - \frac{2}{3})$

خطوة 13.2.12

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

خطوة 13.2.13

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 \sec (0.4636476)$ .

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476)) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

خطوة 14.2

أخرِج العامل $- 1$ من $\sec^{3} (0.4636476)$ .

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476)) - 1 (- \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

خطوة 14.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 \sec (0.4636476)) - 1 (- \sec^{3} (0.4636476))$ .

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

خطوة 14.4

أعِد كتابة $- (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))$ بالصيغة $- 1 (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))$ .

$8 (\frac{- 1 (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

خطوة 14.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$8 (- \frac{3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

خطوة 15

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$8 (- \frac{3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

الصيغة العشرية:

$0.11584138 \dots$

خطوة 16