حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{3}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 - x^{2}$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 - x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 x$

خطوة 1.1.4

اطرح $2 x$ من $0$ .

$- 2 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{1}{u^{3}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

خطوة 2.3

انقُل $2$ إلى يسار $u^{3}$ .

$\int - \frac{1}{2 u^{3}} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $u^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(u^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{1}{u^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

خطوة 7.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

خطوة 7.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

خطوة 7.2.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

خطوة 7.2.5

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

خطوة 7.2.6

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4 u^{2}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x^{2}$ .

$\frac{1}{4 {(1 - x^{2})}^{2}} + C$