حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} x$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $- 12$ في $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $6$ من $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $6$ من $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $6$ من $- 12$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $6$ من $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $6$ من $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ .

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $x^{2} + x - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $1$ .

$- 1, 2$

خطوة 2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 1, - 2$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $1, - 2$ .

$1, - 2$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f' (- 3) = 6 {(- 3)}^{2} + 6 (- 3) - 12$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 3) = 6 \cdot 9 + 6 (- 3) - 12$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $6$ في $9$ .

$f' (- 3) = 54 + 6 (- 3) - 12$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $6$ في $- 3$ .

$f' (- 3) = 54 - 18 - 12$

خطوة 5.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $18$ من $54$ .

$f' (- 3) = 36 - 12$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $12$ من $36$ .

$f' (- 3) = 24$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $24$ .

$24$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 3$ هو $24$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 2)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 2)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ في العبارة.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

خطوة 6.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

خطوة 6.2.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

خطوة 6.2.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

خطوة 6.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

خطوة 6.2.1.6.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

خطوة 6.2.1.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

خطوة 6.2.1.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

خطوة 6.2.1.7

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

خطوة 6.2.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.8.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2}) - 12$

خطوة 6.2.1.8.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2}) - 12$

خطوة 6.2.1.8.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2})) - 12$

خطوة 6.2.1.8.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1 - 12$

خطوة 6.2.1.9

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3 - 12$

خطوة 6.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اكتب $- 3$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} - 12$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $\frac{- 3}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{2}{2} - 12$

خطوة 6.2.2.3

اضرب $\frac{- 3}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - 12$

خطوة 6.2.2.4

اكتب $- 12$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1}$

خطوة 6.2.2.5

اضرب $\frac{- 12}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 6.2.2.6

اضرب $\frac{- 12}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 - 12 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 12 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.4.2

اضرب $- 12$ في $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 24}{2}$

خطوة 6.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

اطرح $6$ من $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 - 24}{2}$

خطوة 6.2.5.2

اطرح $24$ من $- 3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 27}{2}$

خطوة 6.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{27}{2}$

خطوة 6.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{27}{2}$ .

$- \frac{27}{2}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - \frac{1}{2}$ هو $- \frac{27}{2}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 2, 1)$ .

تناقص خلال $(- 2, 1)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = 6 {(2)}^{2} + 6 (2) - 12$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = 6 \cdot 4 + 6 (2) - 12$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $6$ في $4$ .

$f' (2) = 24 + 6 (2) - 12$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $6$ في $2$ .

$f' (2) = 24 + 12 - 12$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $24$ و $12$ .

$f' (2) = 36 - 12$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $12$ من $36$ .

$f' (2) = 24$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $24$ .

$24$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 2$ هو $24$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(1, \infty)$ .

تزايد خلال $(1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 2), (1, \infty)$

تناقص خلال: $(- 2, 1)$

خطوة 9