حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = 2 x - 4$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$2 x - x^{2} = 2 x - 4$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x - x^{2} = 2 x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$2 x - x^{2} - 2 x = - 4$

خطوة 1.2.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x - x^{2} - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.2.1

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$- x^{2} + 0 = - 4$

خطوة 1.2.1.2.2

أضف $- x^{2}$ و $0$ .

$- x^{2} = - 4$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 4$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 4$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 1.2.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 1$ .

$x^{2} = 4$

خطوة 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

خطوة 1.2.4

بسّط $\pm \sqrt{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

خطوة 1.2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 2$

خطوة 1.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 2$

خطوة 1.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 2$

خطوة 1.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 2, - 2$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$y = 2 (2) - 4$

خطوة 1.3.2

بسّط $2 (2) - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$y = 4 - 4$

خطوة 1.3.2.2

اطرح $4$ من $4$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 2$ .

$y = 2 (- 2) - 4$

خطوة 1.4.2

بسّط $2 (- 2) - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y = - 4 - 4$

خطوة 1.4.2.2

اطرح $4$ من $- 4$ .

$y = - 8$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(2, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 0)$

$(- 2, - 8)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $2 x$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 2}^{2} 2 x - 4 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x - (2 x - 4) d x$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- x^{2} + 2 x - (2 x) - - 4$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 x - - 4$

خطوة 4.2.3

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 x + 4$

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x - 2 x + 4 d x$

خطوة 4.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $- x^{2} + 2 x - 2 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$- x^{2} + 0 + 4$

خطوة 4.3.2

أضف $- x^{2}$ و $0$ .

$- x^{2} + 4$

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 4 d x$

خطوة 4.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

خطوة 4.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

خطوة 4.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

خطوة 4.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

خطوة 4.8

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

خطوة 4.9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $2$ وفي $- 2$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

خطوة 4.9.2

احسِب قيمة $4 x$ في $2$ وفي $- 2$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

خطوة 4.9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

خطوة 4.9.3.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

خطوة 4.9.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

خطوة 4.9.3.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

خطوة 4.9.3.5

اضرب $\frac{8}{3}$ في $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

خطوة 4.9.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{8 + 8}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

خطوة 4.9.3.7

أضف $8$ و $8$ .

$- \frac{16}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

خطوة 4.9.3.8

اضرب $4$ في $2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 - 4 \cdot - 2$

خطوة 4.9.3.9

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 + 8$

خطوة 4.9.3.10

أضف $8$ و $8$ .

$- \frac{16}{3} + 16$

خطوة 4.9.3.11

لكتابة $16$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.9.3.12

اجمع $16$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.9.3.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 16 + 16 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.9.3.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.14.1

اضرب $16$ في $3$ .

$\frac{- 16 + 48}{3}$

خطوة 4.9.3.14.2

أضف $- 16$ و $48$ .

$\frac{32}{3}$

خطوة 5