حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{5}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(2 x - 3)}^{4}$ و $g (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{5}$ .

${(2 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{5}] + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2} + x + 1$ .

${(2 x - 3)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

${(2 x - 3)}^{4} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2} + x + 1$ .

${(2 x - 3)}^{4} (5 {(x^{2} + x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $5$ إلى يسار ${(2 x - 3)}^{4}$ .

$5 \cdot {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1] + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1 + 0) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

خطوة 3.6

أضف $2 x + 1$ و $0$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 2 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x - 3$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 3])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 3])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x - 3$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (4 {(2 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 3])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $4$ إلى يسار ${(x^{2} + x + 1)}^{5}$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 \cdot {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 5.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 5.5

اضرب $2$ في $1$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 5.6

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} (2 + 0)$

خطوة 5.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أضف $2$ و $0$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} \cdot 2$

خطوة 5.7.2

اضرب $2$ في $4$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أخرِج العامل ${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ من $5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل ${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ من $5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1)$ .

${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 3) (2 x + 1)) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3}$

خطوة 6.1.2

أخرِج العامل ${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ من $8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3}$ .

${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 3) (2 x + 1)) + {(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (8 (x^{2} + x + 1))$

خطوة 6.1.3

أخرِج العامل ${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ من ${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 3) (2 x + 1)) + {(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (8 (x^{2} + x + 1))$ .

${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 3) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب عوامل ${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 3) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{4} {(2 x - 3)}^{3} (5 (2 x - 3) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$