حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \sin (2 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 1.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{8}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) d u$

خطوة 4

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

خطوة 5

احسِب قيمة $- \cos (u)$ في $\frac{π}{4}$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (0))$

خطوة 6.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 7.2

اضرب $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 7.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 7.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.14644660 \dots$