حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} + 1$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{2} + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$(x^{2} + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 1$ .

$2 \cdot (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x + 0)$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x)$

خطوة 2.8.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} - 1$ .

$2 (x^{2} + 1) x + 2 \cdot (x^{2} - 1) x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x + 2 (x^{2} - 1) x$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 (x^{2} - 1) x$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + (2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

خطوة 3.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

خطوة 3.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

خطوة 3.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

خطوة 3.5.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

خطوة 3.5.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 x^{3} + 2 x + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x$

خطوة 3.5.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x$

خطوة 3.5.7

أضف $1$ و $2$ .

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x$

خطوة 3.5.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3} - 2 x$

خطوة 3.5.9

أضف $2 x^{3}$ و $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} + 2 x - 2 x$

خطوة 3.5.10

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$4 x^{3} + 0$

خطوة 3.5.11

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$4 x^{3}$