حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 3.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 3.6

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 3.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 3.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

خطوة 3.8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 3.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

خطوة 3.10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

خطوة 3.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

خطوة 3.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 3.13

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

خطوة 3.14

اضرب $x^{- \frac{1}{2}}$ في $x^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

خطوة 3.14.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

خطوة 3.14.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

خطوة 3.14.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

خطوة 3.14.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

خطوة 3.14.5.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

خطوة 3.14.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

خطوة 3.15

انقُل $x^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

خطوة 3.16

اضرب $- 1$ في $5$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3.17

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3.18

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$