حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

خطوة 1.1.2.3

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $\frac{4}{2}$ و $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

خطوة 1.1.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

خطوة 1.1.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

خطوة 1.1.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

خطوة 1.1.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

خطوة 1.1.2.5.2.4

اقسِم $2 x^{3}$ على $1$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3})$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} + 6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 (2 x)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $6$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x^{2} + 12 x$ .

$6 x^{2} + 12 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $6 x^{2} + 12 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x^{2} + 12 x = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $6 x$ من $6 x^{2} + 12 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $6 x$ من $6 x^{2}$ .

$6 x (x) + 12 x = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $6 x$ من $12 x$ .

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $6 x$ من $6 x (x) + 6 x (2)$ .

$6 x (x + 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 x (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 2$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3}$

خطوة 3.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $2$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 3.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- 2$ في $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + 2 {(- 2)}^{3}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 {(- 2)}^{3}$

خطوة 3.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8)) + 2 {(- 2)}^{3}$

خطوة 3.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8) + 2 {(- 2)}^{3}$

خطوة 3.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 2) = 8 + 2 {(- 2)}^{3}$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f (- 2) = 8 + 2 \cdot - 8$

خطوة 3.3.2.1.4

اضرب $2$ في $- 8$ .

$f (- 2) = 8 - 16$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $16$ من $8$ .

$f (- 2) = - 8$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 8$ .

$- 8$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 2$ في $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ هي $(- 2, - 8)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 2, - 8)$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (- 2, - 8)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.1$ في العبارة.

$f'' (- 2.1) = 6 {(- 2.1)}^{2} + 12 (- 2.1)$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 2.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6 \cdot 4.41 + 12 (- 2.1)$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $6$ في $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 + 12 (- 2.1)$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $12$ في $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 - 25.2$

خطوة 5.2.2

اطرح $25.2$ من $26.46$ .

$f'' (- 2.1) = 1.26$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $1.26$ .

$1.26$

خطوة 5.3

في $- 2.1$ ، المشتق الثاني هو $1.26$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 2)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 2)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $6$ في $1$ .

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $12$ في $- 1$ .

$f'' (- 1) = 6 - 12$

خطوة 6.2.2

اطرح $12$ من $6$ .

$f'' (- 1) = - 6$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$- 6$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 1$ يساوي $- 6$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 2, 0)$

تناقص خلال $(- 2, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $6$ في $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 12 (0.1)$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $12$ في $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 1.2$

خطوة 7.2.2

أضف $0.06$ و $1.2$ .

$f'' (0.1) = 1.26$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $1.26$ .

$1.26$

خطوة 7.3

في $0.1$ ، المشتق الثاني هو $1.26$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 8), (0, 0)$ .

$(- 2, - 8), (0, 0)$

خطوة 9