حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \arctan (4 t) d t$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \arctan (4 t)$ و $d v = 1$ .

$\arctan (4 t) t - \int t \frac{4}{16 t^{2} + 1} d t$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $t$ و $\frac{4}{16 t^{2} + 1}$ .

$\arctan (4 t) t - \int \frac{t \cdot 4}{16 t^{2} + 1} d t$

خطوة 2.2

انقُل $4$ إلى يسار $t$ .

$\arctan (4 t) t - \int \frac{4 t}{16 t^{2} + 1} d t$

خطوة 3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\arctan (4 t) t - (4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t)$

خطوة 4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 16 t^{2} + 1$ . إذن $d u = 32 t d t$ ، لذا $\frac{1}{32} d u = t d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 16 t^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $16 t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [16 t^{2} + 1]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $16 t^{2} + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [16 t^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $16 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $16 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$16 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $2$ في $16$ .

$32 t + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$32 t + 0$

خطوة 5.1.4.2

أضف $32 t$ و $0$ .

$32 t$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{32}$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u$

خطوة 6.2

انقُل $32$ إلى يسار $u$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{32 u} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{32}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{32}$ خارج التكامل.

$\arctan (4 t) t - 4 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{32}$ و $- 4$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{- 4}{32} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{4 (- 1)}{32} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $32$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (4 t) t + \frac{- 1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 8.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 9

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 10

بسّط.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| u |) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $16 t^{2} + 1$ .

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| 16 t^{2} + 1 |) + C$