حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} \cos (3 x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = \cos (3 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\sin (3 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3} \cdot 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3} \cdot 2$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int \sin (3 x) (x) d x)$

خطوة 4

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} \int \sin (3 x) (x) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (3 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (x (- \frac{1}{3} \cos (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\cos (3 x)$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (x (- \frac{\cos (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

خطوة 6.2

اجمع $x$ و $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

خطوة 6.3

اجمع $\cos (3 x)$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} - - \int \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + 1 \int \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

خطوة 8.2

اضرب $\int \frac{\cos (3 x)}{3} d x$ في $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \int \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x)$

خطوة 10

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 10.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (u) \frac{1}{3} d u)$

خطوة 11

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u)}{3} d u)$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u) d u)$

خطوة 13.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} \int \cos (u) d u)$

خطوة 14

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u) + C))$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أعِد كتابة $\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u) + C))$ بالصيغة $\frac{1}{3} x^{2} \sin (3 x) - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{3} x^{2} \sin (3 x) - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} \sin (3 x) - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2.2

اجمع $\frac{x^{2}}{3}$ و $\sin (3 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2.3

اجمع $x$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2.4

اجمع $\cos (3 x)$ و $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2.5

اجمع $\frac{1}{9}$ و $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9}) + C$

خطوة 15.2.6

لكتابة $- \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

خطوة 15.2.7

اجمع $- \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} + \frac{- \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

خطوة 15.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

خطوة 15.2.9

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - 3 (\frac{2}{3}) (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

خطوة 15.2.10

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{- 3 \cdot 2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

خطوة 15.2.11

اضرب $- 3$ في $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{- 6}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

خطوة 15.2.12

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.12.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{3 \cdot - 2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

خطوة 15.2.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.12.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

خطوة 15.2.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

خطوة 15.2.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{- 2}{1} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

خطوة 15.2.12.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - 2 (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

خطوة 16

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - 2 (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (3 x)}{9})}{3} + C$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\cos (3 x) x}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - 2 (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{\sin (3 x)}{9})}{3} + C$

خطوة 17.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - 2 (- \frac{x \cos (3 x)}{3}) - 2 \frac{\sin (3 x)}{9}}{3} + C$

خطوة 17.2.2

اضرب $- 2 (- \frac{x \cos (3 x)}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + 2 \frac{x \cos (3 x)}{3} - 2 \frac{\sin (3 x)}{9}}{3} + C$

خطوة 17.2.2.2

اجمع $2$ و $\frac{x \cos (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{2 (x \cos (3 x))}{3} - 2 \frac{\sin (3 x)}{9}}{3} + C$

خطوة 17.2.3

اجمع $- 2$ و $\frac{\sin (3 x)}{9}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{2 (x \cos (3 x))}{3} + \frac{- 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

خطوة 17.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{2 x \cos (3 x)}{3} - \frac{2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

خطوة 17.2.5

لكتابة $x^{2} \sin (3 x)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x)}{3} + x^{2} \sin (3 x) \cdot \frac{9}{9} - \frac{2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

خطوة 17.2.6

اجمع $x^{2} \sin (3 x)$ و $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x)}{3} + \frac{x^{2} \sin (3 x) \cdot 9}{9} - \frac{2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

خطوة 17.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x)}{3} + \frac{x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

خطوة 17.2.8

لكتابة $\frac{2 x \cos (3 x)}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x)}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

خطوة 17.2.9

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $9$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.9.1

اضرب $\frac{2 x \cos (3 x)}{3}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

خطوة 17.2.9.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x) \cdot 3}{9} + \frac{x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

خطوة 17.2.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x) \cdot 3 + x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

خطوة 17.2.11

أعِد كتابة $\frac{2 x \cos (3 x) \cdot 3 + x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.11.1

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{\frac{6 x \cos (3 x) + x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

خطوة 17.2.11.2

انقُل $9$ إلى يسار $x^{2} \sin (3 x)$ .

$\frac{\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

خطوة 17.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3} + C$

خطوة 17.4

اضرب $\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1

اضرب $\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{9}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{9 \cdot 3} + C$

خطوة 17.4.2

اضرب $9$ في $3$ .

$\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{27} + C$

خطوة 17.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{27} (6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)) + C$