حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2} + t}$

خطوة 1

بسّط المتغير المستقل للنهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لكتابة $\frac{1}{t}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{1}{t^{2} + t}$

خطوة 1.1.2

لكتابة $- \frac{1}{t^{2} + t}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{t}{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{1}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

خطوة 1.1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $t (t^{2} + t)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اضرب $\frac{1}{t}$ في $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{1}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $\frac{1}{t^{2} + t}$ في $\frac{t}{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{t}{(t^{2} + t) t}$

خطوة 1.1.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(t^{2} + t) t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{t}{t (t^{2} + t)}$

خطوة 1.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t - t}{t (t^{2} + t)}$

خطوة 1.1.5

اطرح $t$ من $t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + 0}{t (t^{2} + t)}$

خطوة 1.1.6

أضف $t^{2}$ و $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2}}{t (t^{2} + t)}$

خطوة 1.2

احذِف العامل المشترك لـ $t^{2}$ و $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $t$ من $t^{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t (t^{2} + t)}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t (t^{2} + t)}$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{t^{2} + t}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2} + lim_{t \to 0} t}$

خطوة 2.1.3.2

انقُل الأُس $2$ من $t^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} t}$

خطوة 2.1.3.3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $t$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{t \to 0} t}$

خطوة 2.1.3.3.2

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

خطوة 2.1.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.4.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0 + 0}$

خطوة 2.1.3.4.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.4.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.5

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{t^{2} + t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 t + \frac{d}{d t} [t]}$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 t + 1}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} 2 t + 1}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $0$ .

$\frac{1}{lim_{t \to 0} 2 t + 1}$

خطوة 3.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $0$ .

$\frac{1}{lim_{t \to 0} 2 t + lim_{t \to 0} 1}$

خطوة 3.4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$\frac{1}{2 lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1}$

خطوة 3.5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $0$ .

$\frac{1}{2 lim_{t \to 0} t + 1}$

خطوة 4

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

خطوة 5.1.2

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1}{1}$

خطوة 5.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$1$