حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{3^{2} - x^{2}} d x$

خطوة 1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $x = 3 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 3 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $3 \cos (t)$ موجبة.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 \sin (t)$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.1.3

اضرب $9$ في $- 1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $9$ من $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.4

أخرِج العامل $9$ من $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.6

أعِد كتابة $9 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $3$ في $3$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

خطوة 3.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

خطوة 3.2.3

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

خطوة 3.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 3.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos^{2} (t) d t$

خطوة 4

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos^{2} (t) d t$

خطوة 5

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t)$

خطوة 7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{9}{2} (\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} d t + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

خطوة 10

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 10.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 10.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 0.72972765$

خطوة 10.3

اضرب $2$ في $- 0.72972765$ .

$u_{lower} = - 1.45945531$

خطوة 10.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.3398369$

خطوة 10.5

اضرب $2$ في $0.3398369$ .

$u_{upper} = 0.67967381$

خطوة 10.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1.45945531$

$u_{upper} = 0.67967381$

خطوة 10.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 11

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) d u)$

خطوة 13

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

خطوة 14

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

احسِب قيمة $t$ في $0.3398369$ وفي $- 0.72972765$ .

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $0.67967381$ وفي $- 1.45945531$ .

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} ((\sin (0.67967381)) - \sin (- 1.45945531)))$

خطوة 14.3

أضف $0.3398369$ و $0.72972765$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} (\sin (0.67967381) - \sin (- 1.45945531)))$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} \sin (0.67967381) + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

خطوة 15.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (0.67967381)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

خطوة 15.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (- 1.45945531)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

خطوة 15.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.4.1

احسِب قيمة $\sin (0.67967381)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{0.62853936}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

خطوة 15.1.4.2

اقسِم $0.62853936$ على $2$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

خطوة 15.1.4.3

احسِب قيمة $\sin (- 1.45945531)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{- 0.99380799}{2})$

خطوة 15.1.4.4

اقسِم $- 0.99380799$ على $2$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - - 0.49690399)$

خطوة 15.1.4.5

اضرب $- 1$ في $- 0.49690399$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 + 0.49690399)$

خطوة 15.1.5

أضف $0.31426968$ و $0.49690399$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.81117367)$

خطوة 15.2

أضف $1.06956456$ و $0.81117367$ .

$\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$

خطوة 15.3

اضرب $\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

اجمع $\frac{9}{2}$ و $1.88073824$ .

$\frac{9 \cdot 1.88073824}{2}$

خطوة 15.3.2

اضرب $9$ في $1.88073824$ .

$\frac{16.92664417}{2}$

خطوة 15.4

اقسِم $16.92664417$ على $2$ .

$8.46332208$

خطوة 16