حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x e^{4 x} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{4 x}$ .

$x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $e^{4 x}$ .

$x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x$

خطوة 2.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x)$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 4 x$ . إذن $d u = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

خطوة 5

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u$

خطوة 7.2

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u$

خطوة 8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$

خطوة 9

أعِد كتابة $\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$ .

$\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x} + C$