حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \frac{x - 6}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

خطوة 1

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

حلّل $x^{2} - 6 x + 8$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $8$ ومجموعهما $- 6$ .

$- 4, - 2$

خطوة 1.1.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{x - 6}{(x - 4) (x - 2)}$

خطوة 1.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x - 4}$

خطوة 1.1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$

خطوة 1.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x - 4) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 6) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 6) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.1.6.2

اقسِم $x - 6$ على $1$ .

$x - 6 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x - 6 = \frac{A (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.1.7.1.2

اقسِم $(A) (x - 2)$ على $1$ .

$x - 6 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x - 6 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.1.7.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $A$ .

$x - 6 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x - 6 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.1.7.4.2

اقسِم $(B) (x - 4)$ على $1$ .

$x - 6 = A x - 2 A + (B) (x - 4)$

خطوة 1.1.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$x - 6 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 4$

خطوة 1.1.7.6

انقُل $- 4$ إلى يسار $B$ .

$x - 6 = A x - 2 A + B x - 4 B$

خطوة 1.1.8

انقُل $- 2 A$ .

$x - 6 = A x + B x - 2 A - 4 B$

خطوة 1.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A + B$

خطوة 1.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$- 6 = - 2 A - 4 B$

خطوة 1.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$1 = A + B$

$- 6 = - 2 A - 4 B$

$1 = A + B$

$- 6 = - 2 A - 4 B$

خطوة 1.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $1 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 6 = - 2 A - 4 B$

خطوة 1.3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 A - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 A - 4 B$

خطوة 1.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $1 - B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $- 6 = - 2 A - 4 B$ بـ $1 - B$ .

$- 6 = - 2 (1 - B) - 4 B$

$A = 1 - B$

خطوة 1.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

بسّط $- 2 (1 - B) - 4 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 6 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

خطوة 1.3.2.2.1.1.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 6 = - 2 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

خطوة 1.3.2.2.1.1.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$- 6 = - 2 + 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 + 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

خطوة 1.3.2.2.1.2

اطرح $4 B$ من $2 B$ .

$- 6 = - 2 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 - 2 B$

$A = 1 - B$

خطوة 1.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $- 6 = - 2 - 2 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 2 - 2 B = - 6$ .

$- 2 - 2 B = - 6$

$A = 1 - B$

خطوة 1.3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 B = - 6 + 2$

$A = 1 - B$

خطوة 1.3.3.2.2

أضف $- 6$ و $2$ .

$- 2 B = - 4$

$A = 1 - B$

$- 2 B = - 4$

$A = 1 - B$

خطوة 1.3.3.3

اقسِم كل حد في $- 2 B = - 4$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.1

اقسِم كل حد في $- 2 B = - 4$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

خطوة 1.3.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

خطوة 1.3.3.3.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

خطوة 1.3.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 2$ .

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

خطوة 1.3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $2$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = 1 - B$ بـ $2$ .

$A = 1 - (2)$

$B = 2$

خطوة 1.3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1

بسّط $1 - (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$A = 1 - 2$

$B = 2$

خطوة 1.3.4.2.1.2

اطرح $2$ من $1$ .

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

خطوة 1.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = - 1, B = 2$

خطوة 1.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{- 1}{x - 4} + \frac{2}{x - 2}$

خطوة 1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{0}^{1} - \frac{1}{x - 4} + \frac{2}{x - 2} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{1} - \frac{1}{x - 4} d x + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 4} d x + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{1} = x - 4$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{1} = x - 4$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 4.1.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = x - 4$ .

$u_{lower} = 0 - 4$

خطوة 4.3

اطرح $4$ من $0$ .

$u_{lower} = - 4$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = x - 4$ .

$u_{upper} = 1 - 4$

خطوة 4.5

اطرح $4$ من $1$ .

$u_{upper} = - 3$

خطوة 4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = - 3$

خطوة 4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$- \int_{- 4}^{- 3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 4}^{- 3}) + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 4}^{- 3}) + 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{2} = x - 2$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{2} = x - 2$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 7.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

خطوة 7.3

اطرح $2$ من $0$ .

$u_{lower} = - 2$

خطوة 7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = x - 2$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

خطوة 7.5

اطرح $2$ من $1$ .

$u_{upper} = - 1$

خطوة 7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

خطوة 7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 4}^{- 3}) + 2 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 4}^{- 3}) + 2 (\ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1})$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $\ln (| u_{1} |)$ في $- 3$ وفي $- 4$ .

$- ((\ln (| - 3 |)) - \ln (| - 4 |)) + 2 (\ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1})$

خطوة 9.2

احسِب قيمة $\ln (| u_{2} |)$ في $- 1$ وفي $- 2$ .

$- ((\ln (| - 3 |)) - \ln (| - 4 |)) + 2 ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

خطوة 9.3

احذِف الأقواس.

$- (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) + 2 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}) + 2 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

خطوة 10.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 3$ و $0$ تساوي $3$ .

$- \ln (\frac{3}{| - 4 |}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

خطوة 11.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 4$ و $0$ تساوي $4$ .

$- \ln (\frac{3}{4}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

خطوة 11.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 1$ و $0$ تساوي $1$ .

$- \ln (\frac{3}{4}) + 2 \ln (\frac{1}{| - 2 |})$

خطوة 11.4

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 2$ و $0$ تساوي $2$ .

$- \ln (\frac{3}{4}) + 2 \ln (\frac{1}{2})$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \ln (\frac{3}{4}) + 2 \ln (\frac{1}{2})$

الصيغة العشرية:

$- 1.09861228 \dots$

خطوة 13