حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x$ , $y = 3 \sqrt{x}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x = 3 \sqrt{x}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x = 3 \sqrt{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن الجذر يقع على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث يصبح على المتعادل الأيسر.

$3 \sqrt{x} = x$

خطوة 1.2.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${(3 \sqrt{x})}^{2} = x^{2}$

خطوة 1.2.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

بسّط ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

خطوة 1.2.3.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 1.2.3.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 1.2.3.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$9 x^{1} = x^{2}$

خطوة 1.2.3.2.1.4

بسّط.

$9 x = x^{2}$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$9 x - x^{2} = 0$

خطوة 1.2.4.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$9 u - u^{2} = 0$

خطوة 1.2.4.2.2

أخرِج العامل $u$ من $9 u - u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.2.1

أخرِج العامل $u$ من $9 u$ .

$u \cdot 9 - u^{2} = 0$

خطوة 1.2.4.2.2.2

أخرِج العامل $u$ من $- u^{2}$ .

$u \cdot 9 + u (- u) = 0$

خطوة 1.2.4.2.2.3

أخرِج العامل $u$ من $u \cdot 9 + u (- u)$ .

$u (9 - u) = 0$

خطوة 1.2.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$x (9 - x) = 0$

خطوة 1.2.4.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$9 - x = 0 + y = 3 \sqrt{x}$

خطوة 1.2.4.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.4.5

عيّن قيمة العبارة $9 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.5.1

عيّن قيمة $9 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$9 - x = 0$

خطوة 1.2.4.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $9 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.5.2.1

اطرح $9$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 9$

خطوة 1.2.4.5.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 9$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 9$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

خطوة 1.2.4.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.5.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

خطوة 1.2.4.5.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

خطوة 1.2.4.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.5.2.2.3.1

اقسِم $- 9$ على $- 1$ .

$x = 9$

خطوة 1.2.4.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (9 - x) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 9$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = 3 \sqrt{0}$

خطوة 1.3.2

بسّط $3 \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 3 \sqrt{0}$

خطوة 1.3.2.2

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$y = 3 \sqrt{0^{2}}$

خطوة 1.3.2.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$y = 3 \cdot 0$

خطوة 1.3.2.4

اضرب $3$ في $0$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $9$ .

$y = 3 \sqrt{9}$

خطوة 1.4.2

بسّط $3 \sqrt{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 3 \sqrt{9}$

خطوة 1.4.2.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y = 3 \sqrt{3^{2}}$

خطوة 1.4.2.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$y = 3 \cdot 3$

خطوة 1.4.2.4

اضرب $3$ في $3$ .

$y = 9$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(9, 9)$

$(0, 0)$

$(9, 9)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{9} x d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} - (x) d x$

خطوة 3.2

اضرب $- 1$ في $x$ .

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} - x d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

خطوة 3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int_{0}^{9} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

خطوة 3.5

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{0}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - x d x$

خطوة 3.7

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - x d x$

خطوة 3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - \int_{0}^{9} x d x$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9})$

خطوة 3.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9})$

خطوة 3.10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

احسِب قيمة $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $9$ وفي $0$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9})$

خطوة 3.10.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $9$ وفي $0$ .

$3 (\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.5

اضرب $2$ في $27$ .

$3 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $54$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.6.1

أخرِج العامل $3$ من $54$ .

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.6.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.7

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.8

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.11

اضرب $2$ في $0$ .

$3 (18 - \frac{0}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.12

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.12.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$3 (18 - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.12.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$3 (18 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 (18 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 (18 - \frac{0}{1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.12.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$3 (18 - 0) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.13

اضرب $- 1$ في $0$ .

$3 (18 + 0) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.14

أضف $18$ و $0$ .

$3 \cdot 18 - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.15

اضرب $3$ في $18$ .

$54 - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.16

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.17

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0}{2})$

خطوة 3.10.2.3.18

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.18.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 3.10.2.3.18.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.18.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 3.10.2.3.18.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 3.10.2.3.18.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0}{1})$

خطوة 3.10.2.3.18.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$54 - (\frac{81}{2} - 0)$

خطوة 3.10.2.3.19

اضرب $- 1$ في $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} + 0)$

خطوة 3.10.2.3.20

أضف $\frac{81}{2}$ و $0$ .

$54 - \frac{81}{2}$

خطوة 3.10.2.3.21

لكتابة $54$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$54 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}$

خطوة 3.10.2.3.22

اجمع $54$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{54 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}$

خطوة 3.10.2.3.23

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{54 \cdot 2 - 81}{2}$

خطوة 3.10.2.3.24

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.24.1

اضرب $54$ في $2$ .

$\frac{108 - 81}{2}$

خطوة 3.10.2.3.24.2

اطرح $81$ من $108$ .

$\frac{27}{2}$

خطوة 4