حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{2} x^{2} \sqrt{16 - x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} \cdot \sqrt{16 - x^{2}}]$

خطوة 1.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $\sqrt{16 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

خطوة 1.2.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{16 - x^{2}}$ في صورة ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}]$

خطوة 1.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 16 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $16 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $16 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 8.3

انقُل ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $16 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 10

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 11

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 14

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 14.2

اجمع $- 2$ و $\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 14.3

اجمع $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 15

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 16

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 17

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{3}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 18

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 19

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 19.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 19.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 20

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 21

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

خطوة 22

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

انقُل $2$ إلى يسار ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)$

خطوة 22.2

انقُل ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 23

لكتابة $2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 24

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 25

اضرب ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1

انقُل ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x ({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 25.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 25.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 25.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 25.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{1}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 26

بسّط $2 x {(- x^{2} + 16)}^{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 16)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 27

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 16)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 16)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28.2.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.2.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28.2.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.2.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28.2.1.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28.2.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28.2.1.4

اضرب $16$ في $2$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 32 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28.2.2

اطرح $2 x^{3}$ من $- x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 32 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28.3

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x^{3} + 32 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.3.1

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x^{3}$ .

$\frac{x (- 3 x^{2}) + 32 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28.3.2

أخرِج العامل $x$ من $32 x$ .

$\frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 32}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x (- 3 x^{2}) + x \cdot 32$ .

$\frac{x (- 3 x^{2} + 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x (- (3 x^{2}) + 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28.5

أعِد كتابة $32$ بالصيغة $- 1 (- 32)$ .

$\frac{x (- (3 x^{2}) - 1 (- 32))}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{x (- (3 x^{2} - 32))}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28.7

أعِد كتابة $- (3 x^{2} - 32)$ بالصيغة $- 1 (3 x^{2} - 32)$ .

$\frac{x (- 1 (3 x^{2} - 32))}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x (3 x^{2} - 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$