حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sin^{2} (θ) d θ$

خطوة 1

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (θ)$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} d θ$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 θ) d θ$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int d θ + \int - \cos (2 θ) d θ)$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (θ + C + \int - \cos (2 θ) d θ)$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (2 θ) d θ)$

خطوة 6

لنفترض أن $u = 2 θ$ . إذن $d u = 2 d θ$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d θ$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = 2 θ$ . أوجِد $\frac{d u}{d θ}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $2 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

خطوة 6.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $2 θ$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 7

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (θ + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

خطوة 9

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 10

بسّط.

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 θ$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (2 θ)) + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\sin (2 θ)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} θ + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

خطوة 12.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $θ$ .

$\frac{θ}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

خطوة 12.4

اضرب $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (2 θ)}{2}$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 12.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{4} + C$

خطوة 13

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$