حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \tan^{3} (x) d x$

خطوة 1

أخرِج عامل $\tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{2} (x) \tan (x) d x$

خطوة 2

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

خطوة 3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int - 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 1 \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

خطوة 6

تكامل $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u = \sec (x)$ . إذن $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = \sec (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 7.1.2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int u d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

خطوة 9

بسّط.

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$