حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{5}}}}{x^{6}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{1}{x^{5}}$ . إذن $d u = - \frac{5}{x^{6}} d x$ ، لذا $1 d u = - \frac{5}{x^{6}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{1}{x^{5}}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

خطوة 1.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{5}}$ بالصيغة ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

خطوة 1.1.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

خطوة 1.1.2.2.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 5$ .

$- 5 x^{- 6}$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{6}}$

خطوة 1.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{- 5}{x^{6}}$

خطوة 1.1.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5}{x^{6}}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \frac{1}{x^{5}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1^{5}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

خطوة 1.3.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \frac{1}{x^{5}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2^{5}}$

خطوة 1.5

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$u_{upper} = \frac{1}{32}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{32}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{\frac{1}{32}} - \frac{1}{5} e^{u} d u$

خطوة 2

بما أن $- \frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- \frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{5} \int_{1}^{\frac{1}{32}} e^{u} d u$

خطوة 3

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- \frac{1}{5} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{32}}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $\frac{1}{32}$ وفي $1$ .

$- \frac{1}{5} ((e^{\frac{1}{32}}) - e^{1})$

خطوة 4.2

بسّط.

$- \frac{1}{5} (e^{\frac{1}{32}} - e)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{5} e^{\frac{1}{32}} - \frac{1}{5} (- e)$

خطوة 5.2

اجمع $e^{\frac{1}{32}}$ و $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} - \frac{1}{5} (- e)$

خطوة 5.3

اضرب $- \frac{1}{5} (- e)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} + 1 (\frac{1}{5}) e$

خطوة 5.3.2

اضرب $\frac{1}{5}$ في $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} + \frac{1}{5} e$

خطوة 5.3.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} + \frac{e}{5}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} + \frac{e}{5}$

الصيغة العشرية:

$0.33730768 \dots$

خطوة 7