حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{4}}}}{x^{5}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{1}{x^{4}}$ . إذن $d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ ، لذا $1 d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{1}{x^{4}}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 1.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{4}}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

خطوة 1.1.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

خطوة 1.1.2.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 4$ .

$- 4 x^{- 5}$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

خطوة 1.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}}$

خطوة 1.1.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4}{x^{5}}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \frac{1}{x^{4}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1^{4}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

خطوة 1.3.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \frac{1}{x^{4}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2^{4}}$

خطوة 1.5

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} e^{u} d u$

خطوة 2

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- \frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{4} \int_{1}^{\frac{1}{16}} e^{u} d u$

خطوة 3

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{16}}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $\frac{1}{16}$ وفي $1$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{\frac{1}{16}}) - e^{1})$

خطوة 4.2

بسّط.

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{16}} - e)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} (- e)$

خطوة 5.2

اجمع $e^{\frac{1}{16}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} - \frac{1}{4} (- e)$

خطوة 5.3

اضرب $- \frac{1}{4} (- e)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e$

خطوة 5.3.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{1}{4} e$

خطوة 5.3.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $e$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.41344684 \dots$

خطوة 7