حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x - \frac{5}{x}$ on $5$ , $7$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - \frac{5}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

خطوة 1.1.1.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

خطوة 1.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{5}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 1.1.1.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$2 - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$2 - 5 (- x^{- 2})$

خطوة 1.1.1.3.4

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$2 + 5 x^{- 2}$

خطوة 1.1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 5 \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.1.4.2

اجمع $5$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{5}{x^{2}}$

خطوة 1.1.1.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{5}{x^{2}} + 2$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{5}{x^{2}} + 2$ .

$\frac{5}{x^{2}} + 2$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$

خطوة 1.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$\frac{5}{x^{2}} = - 2$

خطوة 1.2.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x^{2}, 1$

خطوة 1.2.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x^{2}$

خطوة 1.2.4

اضرب كل حد في $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ في $x^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

اضرب كل حد في $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ في $x^{2}$ .

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$5 = - 2 x^{2}$

خطوة 1.2.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 2 x^{2} = 5$ .

$- 2 x^{2} = 5$

خطوة 1.2.5.2

اقسِم كل حد في $- 2 x^{2} = 5$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 x^{2} = 5$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

خطوة 1.2.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

خطوة 1.2.5.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{5}{- 2}$

خطوة 1.2.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} = - \frac{5}{2}$

خطوة 1.2.5.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$

خطوة 1.2.5.4

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{5}{2}}$

خطوة 1.2.5.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm i \sqrt{\frac{5}{2}}$

خطوة 1.2.5.4.3

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{5}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

خطوة 1.2.5.4.4

اضرب $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

خطوة 1.2.5.4.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.5.1

اضرب $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 1.2.5.4.5.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 1.2.5.4.5.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 1.2.5.4.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 1.2.5.4.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 1.2.5.4.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 1.2.5.4.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 1.2.5.4.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.2.5.4.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.2.5.4.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 1.2.5.4.5.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.2.5.4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.6.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

خطوة 1.2.5.4.6.2

اضرب $5$ في $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{2}$

خطوة 1.2.5.4.7

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{10}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{2}$

خطوة 1.2.5.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}$

خطوة 1.2.5.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

خطوة 1.2.5.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}, - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{5}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 1.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 1.3.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 1.3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 1.3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $2 x - \frac{5}{x}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$2 (0) - \frac{5}{0}$

خطوة 1.4.1.2

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 1.5

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 2

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب القيمة في $x = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $5$ .

$2 (5) - \frac{5}{5}$

خطوة 2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

اضرب $2$ في $5$ .

$10 - \frac{5}{5}$

خطوة 2.1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$10 - \frac{5}{5}$

خطوة 2.1.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$10 - 1 \cdot 1$

خطوة 2.1.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$10 - 1$

خطوة 2.1.2.2

اطرح $1$ من $10$ .

$9$

خطوة 2.2

احسِب القيمة في $x = 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $7$ .

$2 (7) - \frac{5}{7}$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $2$ في $7$ .

$14 - \frac{5}{7}$

خطوة 2.2.2.2

لكتابة $14$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$14 \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7}$

خطوة 2.2.2.3

اجمع $14$ و $\frac{7}{7}$ .

$\frac{14 \cdot 7}{7} - \frac{5}{7}$

خطوة 2.2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{14 \cdot 7 - 5}{7}$

خطوة 2.2.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.5.1

اضرب $14$ في $7$ .

$\frac{98 - 5}{7}$

خطوة 2.2.2.5.2

اطرح $5$ من $98$ .

$\frac{93}{7}$

خطوة 2.3

اسرِد جميع النقاط.

$(5, 9), (7, \frac{93}{7})$

خطوة 3

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(7, \frac{93}{7})$

الحد الأدنى المطلق: $(5, 9)$

خطوة 4