حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \cos (x + \frac{π}{4})$ , $0 \leq x \leq 2 π$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + \frac{π}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

خطوة 1.1.1.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

خطوة 1.1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + \frac{π}{4}$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \frac{π}{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

خطوة 1.1.1.2.3

بما أن $\frac{π}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{π}{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

خطوة 1.1.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

خطوة 1.1.1.2.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = - \sin (x + \frac{π}{4})$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \sin (x + \frac{π}{4})$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4})$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ على $- 1$ .

$\frac{- \sin (x + \frac{π}{4})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\sin (x + \frac{π}{4})}{1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 1.2.2.2.2

اقسِم $\sin (x + \frac{π}{4})$ على $1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{- 1}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

خطوة 1.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

خطوة 1.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x + \frac{π}{4} = 0$

خطوة 1.2.5

اطرح $\frac{π}{4}$ من كلا المتعادلين.

$x = - \frac{π}{4}$

خطوة 1.2.6

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

خطوة 1.2.7

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

اطرح $0$ من $π$ .

$x + \frac{π}{4} = π$

خطوة 1.2.7.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.1

اطرح $\frac{π}{4}$ من كلا المتعادلين.

$x = π - \frac{π}{4}$

خطوة 1.2.7.2.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 1.2.7.2.3

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 1.2.7.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 1.2.7.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.5.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

خطوة 1.2.7.2.5.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 1.2.8

أوجِد فترة $\sin (x + \frac{π}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.8.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 1.2.8.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 1.2.8.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 1.2.9

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{4}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

خطوة 1.2.9.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 1.2.9.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 1.2.9.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 1.2.9.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.4.1

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

خطوة 1.2.9.4.2

اطرح $π$ من $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

خطوة 1.2.9.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{7 π}{4}$

خطوة 1.2.10

فترة دالة $\sin (x + \frac{π}{4})$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.2.11

وحّد الإجابات.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\cos (x + \frac{π}{4})$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{3 π}{4}$ .

$\cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\cos (\frac{3 π + π}{4})$

خطوة 1.4.1.2.2

أضف $3 π$ و $π$ .

$\cos (\frac{4 π}{4})$

خطوة 1.4.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (\frac{4 π}{4})$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$\cos (π)$

خطوة 1.4.1.2.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- \cos (0)$

خطوة 1.4.1.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 1.4.1.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = \frac{7 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{7 π}{4}$ .

$\cos ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{4})$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\cos (\frac{7 π + π}{4})$

خطوة 1.4.2.2.2

أضف $7 π$ و $π$ .

$\cos (\frac{8 π}{4})$

خطوة 1.4.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8 π$ .

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4})$

خطوة 1.4.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

خطوة 1.4.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

خطوة 1.4.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (\frac{2 π}{1})$

خطوة 1.4.2.2.3.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$\cos (2 π)$

خطوة 1.4.2.2.4

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\cos (0)$

خطوة 1.4.2.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$1$

خطوة 1.4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(\frac{3 π}{4} + 2 π n, - 1), (\frac{7 π}{4} + 2 π n, 1)$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2

استبعِد النقاط غير الموجودة في الفترة.

$(\frac{3 π}{4}, - 1), (\frac{7 π}{4}, 1)$

خطوة 3

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\cos ((0) + \frac{π}{4})$

خطوة 3.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أضف $0$ و $\frac{π}{4}$ .

$\cos (\frac{π}{4})$

خطوة 3.1.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.2

احسِب القيمة في $x = 2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2 π$ .

$\cos ((2 π) + \frac{π}{4})$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\cos (2 π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

خطوة 3.2.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

خطوة 3.2.2.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\cos (\frac{2 π \cdot 4 + π}{4})$

خطوة 3.2.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.3.1

اضرب $4$ في $2$ .

$\cos (\frac{8 π + π}{4})$

خطوة 3.2.2.3.2

أضف $8 π$ و $π$ .

$\cos (\frac{9 π}{4})$

خطوة 3.2.2.4

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\cos (\frac{π}{4})$

خطوة 3.2.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 π, \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 4

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(\frac{7 π}{4}, 1)$

الحد الأدنى المطلق: $(\frac{3 π}{4}, - 1)$

خطوة 5