حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (t) = \frac{t^{2}}{t - 8}$ ; $- 2 \leq t \leq - \frac{1}{4}$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = t - 8$ .

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(t - 8) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $t - 8$ .

$\frac{2 \cdot (t - 8) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t - 8$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.5

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 t + 2 \cdot - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.3.1.1

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.3.1.1.1

انقُل $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.3.1.1.2

اضرب $t$ في $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.3.1.2

اضرب $2$ في $- 8$ .

$\frac{2 t^{2} - 16 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.3.2

اطرح $t^{2}$ من $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.4

أخرِج العامل $t$ من $t^{2} - 16 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.4.1

أخرِج العامل $t$ من $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.4.2

أخرِج العامل $t$ من $- 16 t$ .

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 16}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.4.3

أخرِج العامل $t$ من $t \cdot t + t \cdot - 16$ .

$f' (t) = \frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$t (t - 16) = 0$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$t = 0$

$t - 16 = 0$

خطوة 1.2.3.2

عيّن قيمة $t$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$t = 0$

خطوة 1.2.3.3

عيّن قيمة العبارة $t - 16$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

عيّن قيمة $t - 16$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$t - 16 = 0$

خطوة 1.2.3.3.2

أضف $16$ إلى كلا المتعادلين.

$t = 16$

خطوة 1.2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $t (t - 16) = 0$ صحيحة.

$t = 0, 16$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(t - 8)}^{2} = 0$

خطوة 1.3.2

أوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

عيّن قيمة $t - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$t - 8 = 0$

خطوة 1.3.2.2

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$t = 8$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{t^{2}}{t - 8}$ عند كل قيمة $t$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $t = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $0$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 8}$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0 - 8}$

خطوة 1.4.1.2.2

اطرح $8$ من $0$ .

$\frac{0}{- 8}$

خطوة 1.4.1.2.3

اقسِم $0$ على $- 8$ .

$0$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $t = 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $16$ .

$\frac{{(16)}^{2}}{(16) - 8}$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

ارفع $16$ إلى القوة $2$ .

$\frac{256}{16 - 8}$

خطوة 1.4.2.2.2

اطرح $8$ من $16$ .

$\frac{256}{8}$

خطوة 1.4.2.2.3

اقسِم $256$ على $8$ .

$32$

خطوة 1.4.3

احسِب القيمة في $t = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $8$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{(8) - 8}$

خطوة 1.4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1

اطرح $8$ من $8$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{0}$

خطوة 1.4.3.2.2

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 1.4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 0), (16, 32)$

خطوة 2

استبعِد النقاط غير الموجودة في الفترة.

خطوة 3

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب القيمة في $t = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $- 2$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) - 8}$

خطوة 3.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{4}{- 2 - 8}$

خطوة 3.1.2.1.2

اطرح $8$ من $- 2$ .

$\frac{4}{- 10}$

خطوة 3.1.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $- 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 (2)}{- 10}$

خطوة 3.1.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 10$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

خطوة 3.1.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

خطوة 3.1.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{- 5}$

خطوة 3.1.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{5}$

خطوة 3.2

احسِب القيمة في $t = - \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $- \frac{1}{4}$ .

$\frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{(- \frac{1}{4}) - 8}$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{4}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

خطوة 3.2.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

خطوة 3.2.2.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

خطوة 3.2.2.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

خطوة 3.2.2.1.5

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1 (\frac{1}{16})}{- \frac{1}{4} - 8}$

خطوة 3.2.2.1.6

اضرب $\frac{1}{16}$ في $1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

لكتابة $- 8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4}}$

خطوة 3.2.2.2.2

اجمع $- 8$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4}}$

خطوة 3.2.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 8 \cdot 4}{4}}$

خطوة 3.2.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.4.1

اضرب $- 8$ في $4$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 32}{4}}$

خطوة 3.2.2.2.4.2

اطرح $32$ من $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 33}{4}}$

خطوة 3.2.2.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{33}{4}}$

خطوة 3.2.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{16} (- \frac{4}{33})$

خطوة 3.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{4}{33}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{- 4}{33}$

خطوة 3.2.2.4.2

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{1}{4 (4)} \cdot \frac{- 4}{33}$

خطوة 3.2.2.4.3

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

خطوة 3.2.2.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

خطوة 3.2.2.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{33}$

خطوة 3.2.2.5

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{- 1}{33}$ .

$\frac{- 1}{4 \cdot 33}$

خطوة 3.2.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.6.1

اضرب $4$ في $33$ .

$\frac{- 1}{132}$

خطوة 3.2.2.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{132}$

خطوة 3.3

اسرِد جميع النقاط.

$(- 2, - \frac{2}{5}), (- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

خطوة 4

قارن قيم $f (t)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $t$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (t)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (t)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

الحد الأدنى المطلق: $(- 2, - \frac{2}{5})$

خطوة 5