حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$ on interval $- 1$ , $1.5$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{x^{4} - 16}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

خطوة 1.1.1.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{4} - 16}$ بالصيغة ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{4} - 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

خطوة 1.1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

خطوة 1.1.1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

خطوة 1.1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

خطوة 1.1.1.3.4

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

خطوة 1.1.1.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.5.1

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

خطوة 1.1.1.3.5.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

خطوة 1.1.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

خطوة 1.1.1.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.1

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

خطوة 1.1.1.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

خطوة 1.1.1.5.3

اجمع $x^{3}$ و $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.5.4

انقُل $8$ إلى يسار $x^{3}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$8 x^{3} = 0$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $8 x^{3} = 0$ على $8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

اقسِم كل حد في $8 x^{3} = 0$ على $8$ .

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

خطوة 1.2.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

خطوة 1.2.3.1.2.1.2

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{8}$

خطوة 1.2.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $8$ .

$x^{3} = 0$

خطوة 1.2.3.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 1.2.3.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

خطوة 1.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

خطوة 1.3.2.1.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

خطوة 1.3.2.1.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x^{2}$ و $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

خطوة 1.3.2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.4.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

خطوة 1.3.2.1.4.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.4.2.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

خطوة 1.3.2.1.4.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

خطوة 1.3.2.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 1.3.2.1.6

طبّق قاعدة الضرب على $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 1.3.2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 1.3.2.3

عيّن قيمة العبارة ${(x^{2} + 4)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.1

عيّن قيمة ${(x^{2} + 4)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

خطوة 1.3.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.2.1

عيّن قيمة $x^{2} + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

خطوة 1.3.2.3.2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.2.2.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 4$

خطوة 1.3.2.3.2.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

خطوة 1.3.2.3.2.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.2.2.3.1

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

خطوة 1.3.2.3.2.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (4)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

خطوة 1.3.2.3.2.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

خطوة 1.3.2.3.2.2.3.4

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

خطوة 1.3.2.3.2.2.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm i \cdot 2$

خطوة 1.3.2.3.2.2.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \pm 2 i$

خطوة 1.3.2.3.2.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.2.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 2 i$

خطوة 1.3.2.3.2.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 2 i$

خطوة 1.3.2.3.2.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 2 i, - 2 i$

خطوة 1.3.2.4

عيّن قيمة العبارة ${(x + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.4.1

عيّن قيمة ${(x + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

خطوة 1.3.2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x + 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.4.2.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 1.3.2.4.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 1.3.2.5

عيّن قيمة العبارة ${(x - 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.5.1

عيّن قيمة ${(x - 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 1.3.2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.5.2.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 1.3.2.5.2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 1.3.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

خطوة 1.3.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x = - 2, x = 2$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{2}{x^{4} - 16}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\frac{2}{{(0)}^{4} - 16}$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{2}{0 - 16}$

خطوة 1.4.1.2.1.2

اطرح $16$ من $0$ .

$\frac{2}{- 16}$

خطوة 1.4.1.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $- 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{- 16}$

خطوة 1.4.1.2.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 16$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

خطوة 1.4.1.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

خطوة 1.4.1.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- 8}$

خطوة 1.4.1.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{8}$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 2$ .

$\frac{2}{{(- 2)}^{4} - 16}$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

خطوة 1.4.2.2.2

اطرح $16$ من $16$ .

$\frac{2}{0}$

خطوة 1.4.2.2.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 1.4.3

احسِب القيمة في $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$\frac{2}{{(2)}^{4} - 16}$

خطوة 1.4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

خطوة 1.4.3.2.2

اطرح $16$ من $16$ .

$\frac{2}{0}$

خطوة 1.4.3.2.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 1.4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(0, - \frac{1}{8})$

خطوة 2

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب القيمة في $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ .

$\frac{2}{{(- 1)}^{4} - 16}$

خطوة 2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$\frac{2}{1 - 16}$

خطوة 2.1.2.1.2

اطرح $16$ من $1$ .

$\frac{2}{- 15}$

خطوة 2.1.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{15}$

خطوة 2.2

احسِب القيمة في $x = 1.5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1.5$ .

$\frac{2}{{(1.5)}^{4} - 16}$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ارفع $1.5$ إلى القوة $4$ .

$\frac{2}{5.0625 - 16}$

خطوة 2.2.2.1.2

اطرح $16$ من $5.0625$ .

$\frac{2}{- 10.9375}$

خطوة 2.2.2.2

اقسِم $2$ على $- 10.9375$ .

$- 0.18285714$

خطوة 2.3

اسرِد جميع النقاط.

$(- 1, - \frac{2}{15}), (1.5, - 0.18285714)$

خطوة 3

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(0, - \frac{1}{8})$

الحد الأدنى المطلق: $(1.5, - 0.18285714)$

خطوة 4