حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$p = \frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ , $0 \leq x \leq 36$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

بما أن $\frac{1}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{12} x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{12} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

خطوة 1.1.1.2.3

اجمع $2$ و $\frac{1}{12}$ .

$\frac{2}{12} x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

خطوة 1.1.1.2.4

اجمع $\frac{2}{12}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{12} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

خطوة 1.1.1.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{12} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

خطوة 1.1.1.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

خطوة 1.1.1.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

خطوة 1.1.1.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

خطوة 1.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{6} - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [108]$

خطوة 1.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{6} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [108]$

خطوة 1.1.1.3.3

اضرب $- 6$ في $1$ .

$\frac{x}{6} - 6 + \frac{d}{d x} [108]$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

بما أن $108$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $108$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x}{6} - 6 + 0$

خطوة 1.1.1.4.2

أضف $\frac{x}{6} - 6$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{6} - 6$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{x}{6} - 6$ .

$\frac{x}{6} - 6$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{x}{6} - 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x}{6} - 6 = 0$

خطوة 1.2.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{x}{6} = 6$

خطوة 1.2.3

اضرب كلا المتعادلين في $6$ .

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 6$

خطوة 1.2.4

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 6$

خطوة 1.2.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 6 \cdot 6$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

اضرب $6$ في $6$ .

$x = 36$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $36$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(36)}^{2} - 6 \cdot 36 + 108$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.1

ارفع $36$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 1296 - 6 \cdot 36 + 108$

خطوة 1.4.1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.2.1

أخرِج العامل $12$ من $1296$ .

$\frac{1}{12} \cdot (12 (108)) - 6 \cdot 36 + 108$

خطوة 1.4.1.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 108) - 6 \cdot 36 + 108$

خطوة 1.4.1.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$108 - 6 \cdot 36 + 108$

خطوة 1.4.1.2.1.3

اضرب $- 6$ في $36$ .

$108 - 216 + 108$

خطوة 1.4.1.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اطرح $216$ من $108$ .

$- 108 + 108$

خطوة 1.4.1.2.2.2

أضف $- 108$ و $108$ .

$0$

خطوة 1.4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(36, 0)$

خطوة 2

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 108$

خطوة 2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{12} \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 108$

خطوة 2.1.2.1.2

اضرب $\frac{1}{12}$ في $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 108$

خطوة 2.1.2.1.3

اضرب $- 6$ في $0$ .

$0 + 0 + 108$

خطوة 2.1.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + 108$

خطوة 2.1.2.2.2

أضف $0$ و $108$ .

$108$

خطوة 2.2

احسِب القيمة في $x = 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $36$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(36)}^{2} - 6 \cdot 36 + 108$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ارفع $36$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 1296 - 6 \cdot 36 + 108$

خطوة 2.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.2.1

أخرِج العامل $12$ من $1296$ .

$\frac{1}{12} \cdot (12 (108)) - 6 \cdot 36 + 108$

خطوة 2.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 108) - 6 \cdot 36 + 108$

خطوة 2.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$108 - 6 \cdot 36 + 108$

خطوة 2.2.2.1.3

اضرب $- 6$ في $36$ .

$108 - 216 + 108$

خطوة 2.2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اطرح $216$ من $108$ .

$- 108 + 108$

خطوة 2.2.2.2.2

أضف $- 108$ و $108$ .

$0$

خطوة 2.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 108), (36, 0)$

خطوة 3

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(0, 108)$

الحد الأدنى المطلق: $(36, 0)$

خطوة 4