حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (t) = 4 \sqrt{t} - t$ , $[0, 16]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 \sqrt{t} - t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $4 t^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.2.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.2.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.2.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.2.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.2.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.2.10

اجمع $4$ و $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.2.11

انقُل $t^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.2.12

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.2.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (t^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.2.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.2.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 1.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (t) = \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

خطوة 1.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$

خطوة 1.2.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$t^{\frac{1}{2}}, 1$

خطوة 1.2.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$t^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.4

اضرب كل حد في $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ في $t^{\frac{1}{2}}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

اضرب كل حد في $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ في $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 = 1 t^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.3.1

اضرب $t^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$2 = t^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $t^{\frac{1}{2}} = 2$ .

$t^{\frac{1}{2}} = 2$

خطوة 1.2.5.2

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

خطوة 1.2.5.3

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.1

بسّط ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

خطوة 1.2.5.3.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

خطوة 1.2.5.3.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$t^{1} = 2^{2}$

خطوة 1.2.5.3.1.1.2

بسّط.

$t = 2^{2}$

خطوة 1.2.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$t = 4$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{2}{\sqrt{t^{1}}} - 1$

خطوة 1.3.1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$\frac{2}{\sqrt{t}} - 1$

خطوة 1.3.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2}{\sqrt{t}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\sqrt{t} = 0$

خطوة 1.3.3

أوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{t}}^{2} = 0^{2}$

خطوة 1.3.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 1.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1

بسّط ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1.1

اضرب الأُسس في ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 1.3.3.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 1.3.3.2.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$t^{1} = 0^{2}$

خطوة 1.3.3.2.2.1.2

بسّط.

$t = 0^{2}$

خطوة 1.3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$t = 0$

خطوة 1.3.4

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{t}$ بحيث تصبح أصغر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$t < 0$

خطوة 1.3.5

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $4 \sqrt{t} - t$ عند كل قيمة $t$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $t = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $4$ .

$4 \sqrt{4} - (4)$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

احذِف الأقواس.

$4 \sqrt{4} - (4)$

خطوة 1.4.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2^{2}} - (4)$

خطوة 1.4.1.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$4 \cdot 2 - (4)$

خطوة 1.4.1.2.2.3

اضرب $4$ في $2$ .

$8 - (4)$

خطوة 1.4.1.2.2.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$8 - 4$

خطوة 1.4.1.2.3

اطرح $4$ من $8$ .

$4$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $t = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $0$ .

$4 \sqrt{0} - (0)$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

احذِف الأقواس.

$4 \sqrt{0} - (0)$

خطوة 1.4.2.2.2

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

خطوة 1.4.2.2.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$4 \cdot 0 - (0)$

خطوة 1.4.2.2.4

اضرب $4$ في $0$ .

$0 - (0)$

خطوة 1.4.2.2.5

اطرح $0$ من $0$ .

$0$

خطوة 1.4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(4, 4), (0, 0)$

خطوة 2

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب القيمة في $t = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $0$ .

$4 \sqrt{0} - (0)$

خطوة 2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احذِف الأقواس.

$4 \sqrt{0} - (0)$

خطوة 2.1.2.2

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

خطوة 2.1.2.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$4 \cdot 0 - (0)$

خطوة 2.1.2.4

اضرب $4$ في $0$ .

$0 - (0)$

خطوة 2.1.2.5

اطرح $0$ من $0$ .

$0$

خطوة 2.2

احسِب القيمة في $t = 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $16$ .

$4 \sqrt{16} - (16)$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

احذِف الأقواس.

$4 \sqrt{16} - (16)$

خطوة 2.2.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$4 \sqrt{4^{2}} - (16)$

خطوة 2.2.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$4 \cdot 4 - (16)$

خطوة 2.2.2.2.3

اضرب $4$ في $4$ .

$16 - (16)$

خطوة 2.2.2.2.4

اضرب $- 1$ في $16$ .

$16 - 16$

خطوة 2.2.2.3

اطرح $16$ من $16$ .

$0$

خطوة 2.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 0), (16, 0)$

خطوة 3

قارن قيم $f (t)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $t$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (t)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (t)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(4, 4)$

الحد الأدنى المطلق: $(0, 0), (16, 0)$

خطوة 4