حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ , $[- \frac{1}{2}, 4]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.1.2.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

خطوة 1.1.1.3.2

أضف $3 x^{2} - 6 x$ و $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 x^{2} - 6 x$ .

$3 x^{2} - 6 x$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x^{2} - 6 x = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $3 x$ من $3 x^{2} - 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $3 x$ من $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $3 x$ من $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

خطوة 1.2.2.3

أخرِج العامل $3 x$ من $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $3 x (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

خطوة 1.4.1.2.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 - 3 \cdot 0 + 1$

خطوة 1.4.1.2.1.3

اضرب $- 3$ في $0$ .

$0 + 0 + 1$

خطوة 1.4.1.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + 1$

خطوة 1.4.1.2.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

خطوة 1.4.2.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 + 1$

خطوة 1.4.2.2.1.3

اضرب $- 3$ في $4$ .

$8 - 12 + 1$

خطوة 1.4.2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.2.1

اطرح $12$ من $8$ .

$- 4 + 1$

خطوة 1.4.2.2.2.2

أضف $- 4$ و $1$ .

$- 3$

خطوة 1.4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 1), (2, - 3)$

خطوة 2

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب القيمة في $x = - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \frac{1}{2}$ .

${(- \frac{1}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

خطوة 2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

خطوة 2.1.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

خطوة 2.1.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

خطوة 2.1.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{1}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

خطوة 2.1.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{1}{8} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

خطوة 2.1.2.1.5

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.5.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 1$

خطوة 2.1.2.1.5.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - 3 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1$

خطوة 2.1.2.1.6

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{1}{8} - 3 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1$

خطوة 2.1.2.1.7

اضرب $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$- \frac{1}{8} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1$

خطوة 2.1.2.1.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{1}{8} - 3 \frac{1}{2^{2}} + 1$

خطوة 2.1.2.1.9

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{1}{8} - 3 (\frac{1}{4}) + 1$

خطوة 2.1.2.1.10

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{- 3}{4} + 1$

خطوة 2.1.2.1.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

اضرب $\frac{3}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

خطوة 2.1.2.2.2

اضرب $\frac{3}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

خطوة 2.1.2.2.3

اكتب $1$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

خطوة 2.1.2.2.4

اضرب $\frac{1}{1}$ في $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

خطوة 2.1.2.2.5

اضرب $\frac{1}{1}$ في $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

خطوة 2.1.2.2.6

أعِد ترتيب عوامل $4 \cdot 2$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

خطوة 2.1.2.2.7

اضرب $2$ في $4$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

خطوة 2.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 - 3 \cdot 2 + 8}{8}$

خطوة 2.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$\frac{- 1 - 6 + 8}{8}$

خطوة 2.1.2.4.2

اطرح $6$ من $- 1$ .

$\frac{- 7 + 8}{8}$

خطوة 2.1.2.4.3

أضف $- 7$ و $8$ .

$\frac{1}{8}$

خطوة 2.2

احسِب القيمة في $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

${(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} + 1$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$64 - 3 {(4)}^{2} + 1$

خطوة 2.2.2.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$64 - 3 \cdot 16 + 1$

خطوة 2.2.2.1.3

اضرب $- 3$ في $16$ .

$64 - 48 + 1$

خطوة 2.2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اطرح $48$ من $64$ .

$16 + 1$

خطوة 2.2.2.2.2

أضف $16$ و $1$ .

$17$

خطوة 2.3

اسرِد جميع النقاط.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{8}), (4, 17)$

خطوة 3

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(4, 17)$

الحد الأدنى المطلق: $(2, - 3)$

خطوة 4