حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ , $0 \leq x \leq 2 π$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.1.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - \sin (x)$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\cos (x) - \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sin (x)$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\cos (x) - \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 1.2.4

افصِل الكسور.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 1.2.5

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 1.2.6

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 1.2.7

افصِل الكسور.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 1.2.8

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 1.2.9

اقسِم $0$ على $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

خطوة 1.2.10

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

خطوة 1.2.11

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \tan (x) = - 1$

خطوة 1.2.12

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.12.1

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 1.2.12.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.12.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 1.2.12.2.2

اقسِم $\tan (x)$ على $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 1.2.12.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.12.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

خطوة 1.2.13

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (1)$

خطوة 1.2.14

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.14.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 1.2.15

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{π}{4}$

خطوة 1.2.16

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.16.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 1.2.16.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.16.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 1.2.16.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 1.2.16.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.16.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 1.2.16.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 1.2.17

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 1.2.17.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 1.2.17.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 1.2.17.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 1.2.18

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\sin (x) + \cos (x)$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{π}{4}$ .

$\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.1.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.4.1.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.4.1.2.2.2

أضف $\sqrt{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.4.1.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.4.1.2.2.3.2

اقسِم $\sqrt{2}$ على $1$ .

$\sqrt{2}$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = \frac{5 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{5 π}{4}$ .

$\sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الثالث.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

خطوة 1.4.2.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

خطوة 1.4.2.2.1.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.2.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.4.2.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.4.2.2.2.2

اطرح $\sqrt{2}$ من $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.4.2.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

خطوة 1.4.2.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

خطوة 1.4.2.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.2.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

خطوة 1.4.2.2.2.3.2.4

اقسِم $- \sqrt{2}$ على $1$ .

$- \sqrt{2}$

خطوة 1.4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(\frac{π}{4} + 2 π n, \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - \sqrt{2})$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2

استبعِد النقاط غير الموجودة في الفترة.

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$

خطوة 3

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\sin (0) + \cos (0)$

خطوة 3.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$0 + \cos (0)$

خطوة 3.1.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$0 + 1$

خطوة 3.1.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 3.2

احسِب القيمة في $x = 2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2 π$ .

$\sin (2 π) + \cos (2 π)$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\sin (0) + \cos (2 π)$

خطوة 3.2.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$0 + \cos (2 π)$

خطوة 3.2.2.1.3

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$0 + \cos (0)$

خطوة 3.2.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$0 + 1$

خطوة 3.2.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 3.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 1), (2 π, 1)$

خطوة 4

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$

الحد الأدنى المطلق: $(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$

خطوة 5