حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ on interval $[- 2, - 1]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

اضرب الأُسس في ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.1.1.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.2.3

انقُل $2$ إلى يسار ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.4.5.2

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.1

أعِد كتابة ${(x - 1)}^{2}$ بالصيغة $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.2

وسّع $(x - 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.3.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.5.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.7.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.7.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.7.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.7.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.7.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.7.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.7.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.7.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.7.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.8

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.8.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.8.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.8.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.8.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.9

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.2.1

اطرح $2 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.2.2

أضف $- 4 x^{2} + 2 x$ و $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.2.3

أضف $- 4 x^{2}$ و $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.3

أخرِج العامل $2 x$ من $- 2 x^{2} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.3.1

أخرِج العامل $2 x$ من $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.3.2

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.3.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.4

احذِف العامل المشترك لـ $- x + 1$ و ${(x - 1)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.4.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.4.4

أعِد كتابة $- (x - 1)$ بالصيغة $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.4.5

أخرِج العامل $x - 1$ من $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.4.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.4.6.1

أخرِج العامل $x - 1$ من ${(x - 1)}^{4}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.1.1.5.4.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.1.1.5.4.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.1.1.5.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.1.1.5.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 x = 0$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x = 0$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 1)}^{3} = 0$

خطوة 1.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 1.3.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{((0) - 1)}^{2}}$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{{(0 - 1)}^{2}}$

خطوة 1.4.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 1.4.1.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{0}{1}$

خطوة 1.4.1.2.3

اقسِم $0$ على $1$ .

$0$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{{((1) - 1)}^{2}}$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0^{2}}$

خطوة 1.4.2.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{{(1)}^{2}}{0}$

خطوة 1.4.2.2.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 1.4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 0)$

خطوة 2

استبعِد النقاط غير الموجودة في الفترة.

خطوة 3

بما أنه لا توجد قيمة لـ $x$ تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ ، إذن لا توجد قيمة قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 4

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

لا توجد نقطة قصوى مطلقة

لا توجد نقطة دنيا مطلقة

خطوة 5