حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt[3]{x + 4}$ ; $[- 4, 4]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x + 4}$ في صورة ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 4)$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

خطوة 1.1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

خطوة 1.1.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

خطوة 1.1.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

خطوة 1.1.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

خطوة 1.1.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

خطوة 1.1.1.6.2

اطرح $3$ من $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

خطوة 1.1.1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

خطوة 1.1.1.7.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

خطوة 1.1.1.7.3

انقُل ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

خطوة 1.1.1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

خطوة 1.1.1.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (4))$

خطوة 1.1.1.10

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0)$

خطوة 1.1.1.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

خطوة 1.1.1.11.2

اضرب $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 = 0$

خطوة 1.2.3

بما أن $1 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$

خطوة 1.3.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} = 0$

خطوة 1.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${(3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 1.3.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}$ في صورة ${(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 1.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1

بسّط ${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 1.3.3.2.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 1.3.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 1.3.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 1.3.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$27 {(x + 4)}^{2} = 0^{3}$

خطوة 1.3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$27 {(x + 4)}^{2} = 0$

خطوة 1.3.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.1

اقسِم كل حد في $27 {(x + 4)}^{2} = 0$ على $27$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.1.1

اقسِم كل حد في $27 {(x + 4)}^{2} = 0$ على $27$ .

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

خطوة 1.3.3.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

خطوة 1.3.3.3.1.2.1.2

اقسِم ${(x + 4)}^{2}$ على $1$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{27}$

خطوة 1.3.3.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $27$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

خطوة 1.3.3.3.2

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 1.3.3.3.3

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\sqrt[3]{x + 4}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 4$ .

$\sqrt[3]{(- 4) + 4}$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

أضف $- 4$ و $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

خطوة 1.4.1.2.2

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 1.4.1.2.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$0$

خطوة 1.4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(- 4, 0)$

خطوة 2

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب القيمة في $x = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 4$ .

$\sqrt[3]{(- 4) + 4}$

خطوة 2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أضف $- 4$ و $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

خطوة 2.1.2.2

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 2.1.2.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$0$

خطوة 2.2

احسِب القيمة في $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

$\sqrt[3]{(4) + 4}$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أضف $4$ و $4$ .

$\sqrt[3]{8}$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$\sqrt[3]{2^{3}}$

خطوة 2.2.2.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$2$

خطوة 2.3

اسرِد جميع النقاط.

$(- 4, 0), (4, 2)$

خطوة 3

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(4, 2)$

الحد الأدنى المطلق: $(- 4, 0)$

خطوة 4