حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = 5 x^{3} e^{- x}$ , $- 1 \leq x \leq 4$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{3} e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = e^{- x}$ .

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$5 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$5 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$5 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.1.1.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$5 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.1.1.4.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$5 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.1.1.4.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.1.1.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

خطوة 1.1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 (x^{3} (- e^{- x})) + 5 (e^{- x} (3 x^{2}))$

خطوة 1.1.1.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$- 5 (x^{3} (e^{- x})) + 5 (e^{- x} (3 x^{2}))$

خطوة 1.1.1.5.2.2

اضرب $3$ في $5$ .

$- 5 x^{3} e^{- x} + 15 e^{- x} x^{2}$

خطوة 1.1.1.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 5 e^{- x} x^{3} + 15 e^{- x} x^{2}$

خطوة 1.1.1.5.4

أعِد ترتيب العوامل في $- 5 e^{- x} x^{3} + 15 e^{- x} x^{2}$ .

$f' (x) = - 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$ .

$- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x} = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $5 x^{2} e^{- x}$ من $- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $5 x^{2} e^{- x}$ من $- 5 x^{3} e^{- x}$ .

$5 x^{2} e^{- x} (- x) + 15 x^{2} e^{- x} = 0$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $5 x^{2} e^{- x}$ من $15 x^{2} e^{- x}$ .

$5 x^{2} e^{- x} (- x) + 5 x^{2} e^{- x} (3) = 0$

خطوة 1.2.2.3

أخرِج العامل $5 x^{2} e^{- x}$ من $5 x^{2} e^{- x} (- x) + 5 x^{2} e^{- x} (3)$ .

$5 x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 3 = 0$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 1.2.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 1.2.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 1.2.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $e^{- x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $e^{- x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{- x} = 0$

خطوة 1.2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

خطوة 1.2.5.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 1.2.5.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{- x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $- x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $- x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x + 3 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 3$

خطوة 1.2.6.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 3$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 3$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 1.2.6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 1.2.6.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 1.2.6.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.3.1

اقسِم $- 3$ على $- 1$ .

$x = 3$

خطوة 1.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $5 x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 3$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $5 x^{3} e^{- x}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$5 {(0)}^{3} e^{- (0)}$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$5 \cdot 0 e^{- (0)}$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $5$ في $0$ .

$0 e^{- (0)}$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0 e^{0}$

خطوة 1.4.1.2.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$0 \cdot 1$

خطوة 1.4.1.2.5

اضرب $0$ في $1$ .

$0$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3$ .

$5 {(3)}^{3} e^{- (3)}$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$5 \cdot 27 e^{- (3)}$

خطوة 1.4.2.2.2

اضرب $5$ في $27$ .

$135 e^{- (3)}$

خطوة 1.4.2.2.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$135 e^{- 3}$

خطوة 1.4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$135 \frac{1}{e^{3}}$

خطوة 1.4.2.2.5

اجمع $135$ و $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{135}{e^{3}}$

خطوة 1.4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 0), (3, \frac{135}{e^{3}})$

خطوة 2

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب القيمة في $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ .

$5 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

خطوة 2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$5 \cdot - 1 e^{- (- 1)}$

خطوة 2.1.2.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- 5 e^{- (- 1)}$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 5 e^{1}$

خطوة 2.1.2.4

بسّط.

$- 5 e$

خطوة 2.2

احسِب القيمة في $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

$5 {(4)}^{3} e^{- (4)}$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$5 \cdot 64 e^{- (4)}$

خطوة 2.2.2.2

اضرب $5$ في $64$ .

$320 e^{- (4)}$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$320 e^{- 4}$

خطوة 2.2.2.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$320 \frac{1}{e^{4}}$

خطوة 2.2.2.5

اجمع $320$ و $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{320}{e^{4}}$

خطوة 2.3

اسرِد جميع النقاط.

$(- 1, - 5 e), (4, \frac{320}{e^{4}})$

خطوة 3

قارن قيم $g (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $g (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $g (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(3, \frac{135}{e^{3}})$

الحد الأدنى المطلق: $(- 1, - 5 e)$

خطوة 4