حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x - 1} + 4$ ; $1 \leq x \leq 2$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{x - 1} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 1}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sqrt{x - 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x - 1}$ في صورة ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 1) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot ({(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2.11

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2.13

اضرب $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2.14

انقُل ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

خطوة 1.1.1.3.2

أضف $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 = 0$

خطوة 1.2.3

بما أن $1 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x - 1)}^{1}}}$

خطوة 1.3.1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$\frac{1}{2 \sqrt{x - 1}}$

خطوة 1.3.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{2 \sqrt{x - 1}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$2 \sqrt{x - 1} = 0$

خطوة 1.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${(2 \sqrt{x - 1})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 1.3.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x - 1}$ في صورة ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 1.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1

بسّط ${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 1.3.3.2.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 1.3.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 1.3.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 1.3.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 {(x - 1)}^{1} = 0^{2}$

خطوة 1.3.3.2.2.1.4

بسّط.

$4 (x - 1) = 0^{2}$

خطوة 1.3.3.2.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x + 4 \cdot - 1 = 0^{2}$

خطوة 1.3.3.2.2.1.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$4 x - 4 = 0^{2}$

خطوة 1.3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$4 x - 4 = 0$

خطوة 1.3.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$4 x = 4$

خطوة 1.3.3.3.2

اقسِم كل حد في $4 x = 4$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.2.1

اقسِم كل حد في $4 x = 4$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

خطوة 1.3.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

خطوة 1.3.3.3.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{4}{4}$

خطوة 1.3.3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.2.3.1

اقسِم $4$ على $4$ .

$x = 1$

خطوة 1.3.4

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x - 1}$ بحيث تصبح أصغر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x - 1 < 0$

خطوة 1.3.5

أضِف $1$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$x < 1$

خطوة 1.3.6

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\sqrt{x - 1} + 4$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$\sqrt{(1) - 1} + 4$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.1

اطرح $1$ من $1$ .

$\sqrt{0} + 4$

خطوة 1.4.1.2.1.2

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} + 4$

خطوة 1.4.1.2.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$0 + 4$

خطوة 1.4.1.2.2

أضف $0$ و $4$ .

$4$

خطوة 1.4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(1, 4)$

خطوة 2

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب القيمة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$\sqrt{(1) - 1} + 4$

خطوة 2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

اطرح $1$ من $1$ .

$\sqrt{0} + 4$

خطوة 2.1.2.1.2

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} + 4$

خطوة 2.1.2.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$0 + 4$

خطوة 2.1.2.2

أضف $0$ و $4$ .

$4$

خطوة 2.2

احسِب القيمة في $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$\sqrt{(2) - 1} + 4$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

اطرح $1$ من $2$ .

$\sqrt{1} + 4$

خطوة 2.2.2.1.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$1 + 4$

خطوة 2.2.2.2

أضف $1$ و $4$ .

$5$

خطوة 2.3

اسرِد جميع النقاط.

$(1, 4), (2, 5)$

خطوة 3

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(2, 5)$

الحد الأدنى المطلق: $(1, 4)$

خطوة 4