حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = | x |$

خطوة 1

مشتق $| x |$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.2.2

اضرب $| x |$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.3

مشتق $| x |$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.4

اجمع $\frac{x}{| x |}$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.8

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + | x |}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.9.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1

لكتابة $| x |$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{| x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.9.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.9.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.3.1

اضرب $| x | | x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.3.1.1

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.9.2.3.1.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.9.2.3.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.9.2.3.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{1 + 1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.9.2.3.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{2} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.9.2.3.2

احذف الحدود غير السالبة من القيمة المطلقة.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.9.2.3.3

أضف $- x^{2}$ و $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.9.2.4

اقسِم $0$ على $| x |$ .

$f'' (x) = \frac{0}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.9.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$f'' (x) = \frac{0}{x^{2}}$

خطوة 2.9.4

اقسِم $0$ على $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{x}{| x |} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

مشتق $| x |$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{x}{| x |}$ .

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{x}{| x |} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x}{| x |} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x = 0$

خطوة 5.3

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\frac{x}{| x |} = 0$ صحيحة.

$لا يوجد حل$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x}{| x |}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$| x | = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

خطوة 6.2.2

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$0$

خطوة 9

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 9.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 2$ ، من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الأول $\frac{x}{| x |}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = \frac{- 2}{| - 2 |}$

خطوة 9.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 2$ و $0$ تساوي $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{2}$

خطوة 9.2.2.2

اقسِم $- 2$ على $2$ .

$f' (- 2) = - 1$

خطوة 9.2.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 9.3

عوّض بأي عدد، مثل $2$ ، من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الأول $\frac{x}{| x |}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = \frac{2}{| 2 |}$

خطوة 9.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$f' (2) = \frac{2}{2}$

خطوة 9.3.2.2

اقسِم $2$ على $2$ .

$f' (2) = 1$

خطوة 9.3.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 9.4

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 0$ ، إذن $x = 0$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 10