حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 - | t - 2 |$ , $[- 8, 3]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - | t - 2 |$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

خطوة 1.1.1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- | t - 2 |$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = | t |$ و $g (t) = t - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t - 2$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d t} [t - 2])$

خطوة 1.1.1.2.2.2

مشتق $| u |$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{u}{| u |}$ .

$0 - (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

خطوة 1.1.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t - 2$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

خطوة 1.1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t - 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]))$

خطوة 1.1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + \frac{d}{d t} [- 2]))$

خطوة 1.1.1.2.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + 0))$

خطوة 1.1.1.2.6

أضف $1$ و $0$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \cdot 1)$

خطوة 1.1.1.2.7

اضرب $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ في $1$ .

$0 - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

خطوة 1.1.1.3

اطرح $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ من $0$ .

$f' (t) = - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$ .

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$t - 2 = 0$

خطوة 1.2.3

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$t = 2$

خطوة 1.2.4

استبعِد الحلول التي لا تجعل $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ صحيحة.

$لا يوجد حل$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$| t - 2 | = 0$

خطوة 1.3.2

أوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$t - 2 = \pm 0$

خطوة 1.3.2.2

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$t - 2 = 0$

خطوة 1.3.2.3

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$t = 2$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $2 - | t - 2 |$ عند كل قيمة $t$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $t = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $2$ .

$2 - | (2) - 2 |$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.1

اطرح $2$ من $2$ .

$2 - | 0 |$

خطوة 1.4.1.2.1.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $0$ تساوي $0$ .

$2 - 0$

خطوة 1.4.1.2.1.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 + 0$

خطوة 1.4.1.2.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 1.4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(2, 2)$

خطوة 2

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب القيمة في $t = - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $- 8$ .

$2 - | (- 8) - 2 |$

خطوة 2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

اطرح $2$ من $- 8$ .

$2 - | - 10 |$

خطوة 2.1.2.1.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 10$ و $0$ تساوي $10$ .

$2 - 1 \cdot 10$

خطوة 2.1.2.1.3

اضرب $- 1$ في $10$ .

$2 - 10$

خطوة 2.1.2.2

اطرح $10$ من $2$ .

$- 8$

خطوة 2.2

احسِب القيمة في $t = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $3$ .

$2 - | (3) - 2 |$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

اطرح $2$ من $3$ .

$2 - | 1 |$

خطوة 2.2.2.1.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

خطوة 2.2.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 - 1$

خطوة 2.2.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$1$

خطوة 2.3

اسرِد جميع النقاط.

$(- 8, - 8), (3, 1)$

خطوة 3

قارن قيم $f (t)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $t$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (t)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (t)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(2, 2)$

الحد الأدنى المطلق: $(- 8, - 8)$

خطوة 4