حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 y^{2} - \sqrt{x} = 23$ , $(16, 3)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 16$ و $y = 3$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 23$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (23)$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.4

اضرب $2$ في $3$ .

$6 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.3.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 1.3.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.3.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.3.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 1.3.3.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 1.3.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 1.3.3.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.3.3.9

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.4

بما أن $23$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $23$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$6 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 1.6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أضف $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ إلى كلا المتعادلين.

$6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.6.2

اقسِم كل حد في $6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ على $6 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

اقسِم كل حد في $6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ على $6 y$ .

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

خطوة 1.6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

خطوة 1.6.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

خطوة 1.6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

خطوة 1.6.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

خطوة 1.6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 y}$

خطوة 1.6.2.3.2

اجمع.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y)}$

خطوة 1.6.2.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.3.3.1

اضرب $1$ في $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 y}$

خطوة 1.6.2.3.3.2

اضرب $6$ في $2$ .

$y' = \frac{1}{12 x^{\frac{1}{2}} y}$

خطوة 1.6.2.3.3.3

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{1}{12 x^{\frac{1}{2}} y}$ .

$y' = \frac{1}{12 y x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{12 y x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8

احسِب القيمة عند $x = 16$ و $y = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $16$ في العبارة.

$\frac{1}{12 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $3$ في العبارة.

$\frac{1}{12 (3) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8.3

اضرب $12$ في $3$ .

$\frac{1}{36 \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.4.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{1}{36 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{36 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.8.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{36 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 1.8.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{36 \cdot 4^{1}}$

خطوة 1.8.4.4

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{36 \cdot 4}$

خطوة 1.8.5

اضرب $36$ في $4$ .

$\frac{1}{144}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{144}$ ونقطة مُعطاة $(16, 3)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{144} \cdot (x - (16))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 3 = \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{1}{144} \cdot (x - 16)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 3 = \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 3 = \frac{1}{144} x + \frac{1}{144} \cdot - 16$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{1}{144}$ و $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{144} \cdot - 16$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

أخرِج العامل $16$ من $144$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 (9)} \cdot - 16$

خطوة 2.3.1.5.2

أخرِج العامل $16$ من $- 16$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 \cdot 9} \cdot (16 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 \cdot 9} \cdot (16 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{9} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.6

اجمع $\frac{1}{9}$ و $- 1$ .

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{- 1}{9}$

خطوة 2.3.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 3 = \frac{x}{144} - \frac{1}{9}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + 3$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $3$ و $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x}{144} + \frac{- 1 + 3 \cdot 9}{9}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $3$ في $9$ .

$y = \frac{x}{144} + \frac{- 1 + 27}{9}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 1$ و $27$ .

$y = \frac{x}{144} + \frac{26}{9}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{144} x + \frac{26}{9}$

خطوة 3