حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + y^{3} = 4 x y$ ; $(2, 2)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 2$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (4 x y)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 1.3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$4 (x y' + y)$

خطوة 1.3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x y' + 4 y$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 4 x y' + 4 y$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $4 x y'$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 4 x y' = 4 y$

خطوة 1.5.2

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' - 4 x y' = 4 y - 3 x^{2}$

خطوة 1.5.3

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y' - 4 x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 4 x y' = 4 y - 3 x^{2}$

خطوة 1.5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 4 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$

خطوة 1.5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{2}) + y' (- 4 x)$ .

$y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$

خطوة 1.5.4

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$ على $3 y^{2} - 4 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$ على $3 y^{2} - 4 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 x)}{3 y^{2} - 4 x} = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y^{2} - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 x)}{3 y^{2} - 4 x} = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

خطوة 1.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{4 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$\frac{4 y - 3 {(2)}^{2}}{3 y^{2} - 4 \cdot 2}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $2$ في العبارة.

$\frac{4 (2) - 3 {(2)}^{2}}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

خطوة 1.7.3

احذِف العامل المشترك لـ $4 (2) - 3 {(2)}^{2}$ و $3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 3 {(2)}^{2} + 2 \cdot 4}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

خطوة 1.7.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 3 {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2) + 2 \cdot 4}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

خطوة 1.7.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 4$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2) + 2 (4)}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

خطوة 1.7.3.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 3 \cdot 2) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

خطوة 1.7.3.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $3 {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2) - 4 \cdot 2}$

خطوة 1.7.3.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4 \cdot 2$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2) + 2 (- 2 \cdot 2)}$

خطوة 1.7.3.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 \cdot 2) + 2 (- 2 \cdot 2)$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2 - 2 \cdot 2)}$

خطوة 1.7.3.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2 - 2 \cdot 2)}$

خطوة 1.7.3.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3 \cdot 2 + 4}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

خطوة 1.7.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 3 \cdot 2 + 4$ و $3 \cdot 2 - 2 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 3 \cdot 2$ .

$\frac{2 \cdot - 3 + 4}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

خطوة 1.7.4.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot - 3 + 2 (2)}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

خطوة 1.7.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot - 3 + 2 (2)$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

خطوة 1.7.4.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $3 \cdot 2$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot 3 - 2 \cdot 2}$

خطوة 1.7.4.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot 3 + 2 (- 1 \cdot 2)}$

خطوة 1.7.4.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 3 + 2 (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 2)}$

خطوة 1.7.4.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 2)}$

خطوة 1.7.4.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3 + 2}{3 - 1 \cdot 2}$

خطوة 1.7.5

احذِف العامل المشترك لـ $- 3 + 2$ و $3 - 1 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3) - 1 \cdot 2}$

خطوة 1.7.5.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3) - 1 (2)}$

خطوة 1.7.5.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- 3) - 1 (2)$ .

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3 + 2)}$

خطوة 1.7.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3 + 2)}$

خطوة 1.7.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- 1}$

خطوة 1.7.5.6

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 1.7.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- 1$ ونقطة مُعطاة $(2, 2)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - 1 \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 2 = - 1 \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- 1 \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 2 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 2 = - 1 \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 2 = - 1 x - 1 \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.4.1

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y - 2 = - x - 1 \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$y - 2 = - x + 2$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - x + 2 + 2$

خطوة 2.3.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$y = - x + 4$

خطوة 3