حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = \frac{1}{2}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 1 + 11 x^{2}$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.3.2

اضرب $1 + 11 x^{2}$ في $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 11 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.3.6

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $11 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (11 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.3.7

اضرب $11$ في $- 1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x (2 x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.3.9

اضرب $2$ في $- 11$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x \cdot x}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{1 + 1}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.7

أضف $1$ و $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.8

اطرح $22 x^{2}$ من $11 x^{2}$ .

$6 \frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.9

اجمع $6$ و $\frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{6 (1 - 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.2.1

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{6 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.10.2.2

اضرب $- 11$ في $6$ .

$\frac{6 - 66 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 66 x^{2} + 6}{{(11 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.11

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$\frac{- 66 {(1)}^{2} + 6}{{(11 {(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{- 66 \cdot 1 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.12.1.2

اضرب $- 66$ في $1$ .

$\frac{- 66 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.12.1.3

أضف $- 66$ و $6$ .

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.12.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1 + 1)}^{2}}$

خطوة 1.12.2.2

اضرب $11$ في $1$ .

$\frac{- 60}{{(11 + 1)}^{2}}$

خطوة 1.12.2.3

أضف $11$ و $1$ .

$\frac{- 60}{12^{2}}$

خطوة 1.12.2.4

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$\frac{- 60}{144}$

خطوة 1.12.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 60$ و $144$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.3.1.1

أخرِج العامل $12$ من $- 60$ .

$\frac{12 (- 5)}{144}$

خطوة 1.12.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.3.1.2.1

أخرِج العامل $12$ من $144$ .

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

خطوة 1.12.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

خطوة 1.12.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 5}{12}$

خطوة 1.12.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5}{12}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{5}{12}$ ونقطة مُعطاة $(1, \frac{1}{2})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{12} \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{5}{12}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $- \frac{5}{12} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + 1 (\frac{5}{12})$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $\frac{5}{12}$ في $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{12}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $\frac{1}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

خطوة 2.3.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $12$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{2 \cdot 6}$

خطوة 2.3.2.3.2

اضرب $2$ في $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{12}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 6}{12}$

خطوة 2.3.2.5

أضف $5$ و $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{11}{12}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{5}{12} x) + \frac{11}{12}$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{5}{12} x + \frac{11}{12}$

خطوة 3