حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + 2 x y - y^{2} + x = 6$ , $(2, 4)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 4$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x y - y^{2} + x) = \frac{d}{d x} (6)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2 x y - y^{2} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + 1$

خطوة 1.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x + 2 (x y') + 2 y - 2 y y' + 1$

خطوة 1.2.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 x + 2 x y' + 2 y - 2 y y' + 1$

خطوة 1.2.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1$

خطوة 1.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1 = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$2 x y' - 2 y y' + 2 y + 1 = - 2 x$

خطوة 1.5.1.2

اطرح $2 y$ من كلا المتعادلين.

$2 x y' - 2 y y' + 1 = - 2 x - 2 y$

خطوة 1.5.1.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 x y' - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

خطوة 1.5.2

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 x y' - 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 x y'$ .

$2 y' x - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

خطوة 1.5.2.2

أخرِج العامل $2 y'$ من $- 2 y y'$ .

$2 y' x + 2 y' (- y) = - 2 x - 2 y - 1$

خطوة 1.5.2.3

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y' x + 2 y' (- y)$ .

$2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$

خطوة 1.5.3

اقسِم كل حد في $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ على $2 (x - y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اقسِم كل حد في $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ على $2 (x - y)$ .

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y$ .

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- x - y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.3

لكتابة $\frac{- x - y}{x - y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- x - y}{x - y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x - y) \cdot 2$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.4.1

اضرب $\frac{- x - y}{x - y}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{(x - y) \cdot 2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.4.2

أعِد ترتيب عوامل $(x - y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{2 (x - y)} - \frac{1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = \frac{- x \cdot 2 - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.6.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.7

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.7.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.7.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (2 y) - 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.7.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.7.4

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1 (1)}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.7.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x + 2 y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.7.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.7.6.1

أعِد كتابة $- (2 x + 2 y + 1)$ بالصيغة $- 1 (2 x + 2 y + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

خطوة 1.5.3.3.7.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$- \frac{2 (2) + 2 y + 1}{2 ((2) - y)}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $4$ في العبارة.

$- \frac{2 (2) + 2 (4) + 1}{2 ((2) - (4))}$

خطوة 1.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{4 + 2 (4) + 1}{2 (2 - (4))}$

خطوة 1.7.3.2

اضرب $2$ في $4$ .

$- \frac{4 + 8 + 1}{2 (2 - (4))}$

خطوة 1.7.3.3

أضف $4$ و $8$ .

$- \frac{12 + 1}{2 (2 - (4))}$

خطوة 1.7.3.4

أضف $12$ و $1$ .

$- \frac{13}{2 (2 - (4))}$

خطوة 1.7.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- \frac{13}{2 (2 - 4)}$

خطوة 1.7.4.2

اطرح $4$ من $2$ .

$- \frac{13}{2 \cdot - 2}$

خطوة 1.7.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- \frac{13}{- 4}$

خطوة 1.7.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{13}{4}$

خطوة 1.7.6

اضرب $- - \frac{13}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{13}{4})$

خطوة 1.7.6.2

اضرب $\frac{13}{4}$ في $1$ .

$\frac{13}{4}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{13}{4}$ ونقطة مُعطاة $(2, 4)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{13}{4} \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 4 = \frac{13}{4} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{13}{4} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{13}{4} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 4 = \frac{13}{4} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 4 = \frac{13}{4} x + \frac{13}{4} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{13}{4}$ و $x$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{4} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2 (2)} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.6

اجمع $\frac{13}{2}$ و $- 1$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13 \cdot - 1}{2}$

خطوة 2.3.1.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.7.1

اضرب $13$ في $- 1$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{- 13}{2}$

خطوة 2.3.1.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2} + 4$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $4$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{13 x}{4} + \frac{- 13 + 4 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $4$ في $2$ .

$y = \frac{13 x}{4} + \frac{- 13 + 8}{2}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 13$ و $8$ .

$y = \frac{13 x}{4} + \frac{- 5}{2}$

خطوة 2.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{5}{2}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{13}{4} x - \frac{5}{2}$

خطوة 3