حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1 + x}{1 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = \frac{1}{2}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1 + x$ و $g (x) = 1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2.5

اضرب $1 + e^{x}$ في $1$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2.8

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 e^{x}$ بالصيغة $- e^{x}$ .

$\frac{1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1

اطرح $e^{x}$ من $e^{x}$ .

$\frac{1 + 0 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.3.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- e^{x} x + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- e^{x} x$ .

$\frac{- (e^{x} x) + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.6

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (e^{x} x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.8

أعِد كتابة $- (e^{x} x - 1)$ بالصيغة $- 1 (e^{x} x - 1)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.4.10

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x e^{x} - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 0$ .

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{0 \cdot 1 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.2

اضرب $0$ في $1$ .

$- \frac{0 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6.1.3

اطرح $1$ من $0$ .

$- \frac{- 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

خطوة 1.6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{- 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

خطوة 1.6.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{- 1}{2^{2}}$

خطوة 1.6.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{- 1}{4}$

خطوة 1.6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{1}{4}$

خطوة 1.6.4

اضرب $- - \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

خطوة 1.6.4.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{4}$ ونقطة مُعطاة $(0, \frac{1}{2})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أضف $x$ و $0$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot x$

خطوة 2.3.1.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{4}$

خطوة 2.3.2

أضف $\frac{1}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2}$

خطوة 3