حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - 2 - \cos (x)$ at $x = - \frac{π}{4}$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = - \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $- \frac{π}{4}$ عن $x$ .

$y = - 2 - \cos (- \frac{π}{4})$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = - 2 - \cos (- \frac{π}{4})$

خطوة 1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$y = - 2 - \cos (\frac{7 π}{4})$

خطوة 1.2.2.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$y = - 2 - \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 1.2.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - \frac{π}{4}$ و $y = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 - \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 2.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

خطوة 2.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

خطوة 2.2.4

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$0 + \sin (x)$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

خطوة 2.4

احسِب قيمة المشتق في $x = - \frac{π}{4}$ .

$\sin (- \frac{π}{4})$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\sin (\frac{7 π}{4})$

خطوة 2.5.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 2.5.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ونقطة مُعطاة $(- \frac{π}{4}, - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 + 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

خطوة 3.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

خطوة 3.3.1.5

اضرب $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

اضرب $\frac{π}{4}$ في $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

خطوة 3.3.1.5.2

اضرب $4$ في $2$ .

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $\frac{\sqrt{2}}{2}$ من كلا المتعادلين.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2 \cdot \frac{8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.3.3.2

اجمع $- 2$ و $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.3.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 2 \cdot 8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.3.3.4

اضرب $- 2$ في $8$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.3.3.5

لكتابة $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 3.3.3.6

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.6.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

خطوة 3.3.3.6.2

اضرب $2$ في $4$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8}$

خطوة 3.3.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16 - \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

خطوة 3.3.3.8

اضرب $4$ في $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16 - 4 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.3.3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- π \sqrt{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2}) - 16 - 4 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.3.3.10

أعِد كتابة $- 16$ بالصيغة $- 1 (16)$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2}) - 1 (16) - 4 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.3.3.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (π \sqrt{2}) - 1 (16)$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16) - 4 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.3.3.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 \sqrt{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16) - (4 \sqrt{2})}{8}$

خطوة 3.3.3.13

أخرِج العامل $- 1$ من $- (π \sqrt{2} + 16) - (4 \sqrt{2})$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})}{8}$

خطوة 3.3.3.14

أعِد كتابة $- (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})$ بالصيغة $- 1 (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})}{8}$

خطوة 3.3.3.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.3.3.16

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{\sqrt{2}}{2} x) - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.3.3.17

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 4