حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{2}}{5 + x}$ , $(1, \frac{1}{6})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = \frac{1}{6}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 5 + x$ .

$\frac{(5 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(5 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $5 + x$ .

$\frac{2 \cdot (5 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (5 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x])}{{(5 + x)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (5 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(5 + x)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (5 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(5 + x)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (5 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(5 + x)}^{2}}$

خطوة 1.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (5 + x) x - x^{2}}{{(5 + x)}^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 \cdot 5 + 2 x) x - x^{2}}{{(5 + x)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 \cdot 5 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(5 + x)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{10 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(5 + x)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{10 x + 2 (x \cdot x) - x^{2}}{{(5 + x)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{10 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(5 + x)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{10 x + x^{2}}{{(5 + x)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x^{2} + 10 x}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.5

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + 10 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 10 x}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.5.2

أخرِج العامل $x$ من $10 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 10}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.5.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 10$ .

$\frac{x (x + 10)}{{(x + 5)}^{2}}$

خطوة 1.4

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$\frac{(1) ((1) + 10)}{{((1) + 5)}^{2}}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $1 + 10$ في $1$ .

$\frac{1 + 10}{{(1 + 5)}^{2}}$

خطوة 1.5.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أضف $1$ و $5$ .

$\frac{1 + 10}{6^{2}}$

خطوة 1.5.2.2

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1 + 10}{36}$

خطوة 1.5.3

أضف $1$ و $10$ .

$\frac{11}{36}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{11}{36}$ ونقطة مُعطاة $(1, \frac{1}{6})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{6}) = \frac{11}{36} \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{1}{6} = \frac{11}{36} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{11}{36} \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 + \frac{11}{36} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{1}{6} = \frac{11}{36} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{1}{6} = \frac{11}{36} x + \frac{11}{36} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{11}{36}$ و $x$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{11 x}{36} + \frac{11}{36} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{11}{36} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اجمع $\frac{11}{36}$ و $- 1$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{11 x}{36} + \frac{11 \cdot - 1}{36}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $11$ في $- 1$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{11 x}{36} + \frac{- 11}{36}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - \frac{1}{6} = \frac{11 x}{36} - \frac{11}{36}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $\frac{1}{6}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{11 x}{36} - \frac{11}{36} + \frac{1}{6}$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $\frac{1}{6}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{11 x}{36} - \frac{11}{36} + \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

خطوة 2.3.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $36$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

اضرب $\frac{1}{6}$ في $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{11 x}{36} - \frac{11}{36} + \frac{6}{6 \cdot 6}$

خطوة 2.3.2.3.2

اضرب $6$ في $6$ .

$y = \frac{11 x}{36} - \frac{11}{36} + \frac{6}{36}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{11 x}{36} + \frac{- 11 + 6}{36}$

خطوة 2.3.2.5

أضف $- 11$ و $6$ .

$y = \frac{11 x}{36} + \frac{- 5}{36}$

خطوة 2.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{11 x}{36} - \frac{5}{36}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{11}{36} x - \frac{5}{36}$

خطوة 3