حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ ; $x = 2$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $2$ عن $x$ .

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 2 {(2^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس.

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

خطوة 1.2.3

بسّط $(2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = 2 {(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

خطوة 1.2.3.1.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$y = 2 {(4 - 8 + 5)}^{8}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اطرح $8$ من $4$ .

$y = 2 {(- 4 + 5)}^{8}$

خطوة 1.2.3.2.2

أضف $- 4$ و $5$ .

$y = 2 \cdot 1^{8}$

خطوة 1.2.3.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = 2 \cdot 1$

خطوة 1.2.3.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$y = 2$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 2$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}] + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{8}$ و $g (x) = x^{2} - 4 x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.6

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.7

أضف $2 x - 4$ و $0$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \cdot 1$

خطوة 2.3.9

اضرب ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ في $1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

خطوة 2.4

أخرِج العامل ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ من $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ من $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4))$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

خطوة 2.4.2

أخرِج العامل ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ من ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$

خطوة 2.4.3

أخرِج العامل ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ من ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4)) + x^{2} - 4 x + 5)$

خطوة 2.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 2$ .

${({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

${(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

خطوة 2.6.1.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

${(4 - 8 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

خطوة 2.6.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اطرح $8$ من $4$ .

${(- 4 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

خطوة 2.6.2.2

أضف $- 4$ و $5$ .

$1^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

خطوة 2.6.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

خطوة 2.6.2.4

اضرب $(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$ في $1$ .

$(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

خطوة 2.6.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$2 (8 (4 - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

خطوة 2.6.3.2

اطرح $4$ من $4$ .

$2 (8 \cdot 0) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

خطوة 2.6.3.3

اضرب $2 (8 \cdot 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.3.1

اضرب $8$ في $0$ .

$2 \cdot 0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

خطوة 2.6.3.3.2

اضرب $2$ في $0$ .

$0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

خطوة 2.6.3.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$0 + 4 - 4 \cdot 2 + 5$

خطوة 2.6.3.5

اضرب $- 4$ في $2$ .

$0 + 4 - 8 + 5$

خطوة 2.6.4

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1

أضف $0$ و $4$ .

$4 - 8 + 5$

خطوة 2.6.4.2

اطرح $8$ من $4$ .

$- 4 + 5$

خطوة 2.6.4.3

أضف $- 4$ و $5$ .

$1$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $1$ ونقطة مُعطاة $(2, 2)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 1 \cdot (x - (2))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 2 = 1 \cdot (x - 2)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $x - 2$ في $1$ .

$y - 2 = x - 2$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = x - 2 + 2$

خطوة 3.3.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 2 + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

أضف $- 2$ و $2$ .

$y = x + 0$

خطوة 3.3.2.2.2

أضف $x$ و $0$ .

$y = x$

خطوة 4